MEDIDAS DE LONGITUD

Para consultar las medidas de longitud que se utilizan en la actualidad, ver: Medidas de longitud.

Tradicionalmente, la unidad de medida utilizada era la vara. Su valor más usado era el de 83.6 cm.

Otras unidades eran:

Medida	Equivalencias
Pulgada ≅	≅ 2.3 cm
Palmo ≅	9 pulgadas ≅	≅ 20.9 cm
Pie ≅	12 pulgadas ≅	≅ 27.9 cm
Vara ≅	3 pies ≅	≅ 4 palmos	≅ 83.6 cm
Paso ≅	5 pies ≅	≅ 1.39 m
Milla ≅	1 000 pasos ≅	≅ 1.39 km
Lengua ≅	4 millas ≅	≅ 5.58 km

Y EL PREMIO A LA ASIGNATURA MÁS ODIADA ES PARA...

Las matemáticas son probablemente, la asignatura escolar más odiada y (en lenguaje muy mexicano) más mentada. Paradójicamente, es una de las más útiles en la vida diaria y de mayor trascendencia en el desarrollo de los procesos cognitivos, además de ser la más amada y respetada por los profesionistas y expertos que las utilizan (matemáticos, físicos, biólogos, acturios, economistas, políticos, entrenadores deportivos...).

Las razones de lo antes argumentado pueden ser variadas: desde la dificultad que implica la asimilación de los procesos cognitivos, el poco tiempo que se le dedica a actividades intelectuales y de abstracción dentro y fuera de los salones de clase, hasta la falta de astucia didáctica y pedagógica de los profesores de enseñanza básica.

En mi experiencia, otro factor que influye mucho son los hábitos y el mito que rodea a las matemáticas; el hábito, porque así como los alumnos acuden fieles a ver a su equipo de futbol favorito en la televisión o incluso descaminándose hasta el estadio, deberían acudir a hacer sus ejercicios que son esenciales para el manejo y dominio de las matemáticas (esto no les exime de las otras asignaturas, pues regularmente el alumno promedio tiene pésimos o nulos hábitos de estudio favorables a todas las asignaturas). En cuanto al mito, es un clamor generalizado que incluso es considerado por las masas como sentido común: las matemáticas son difíciles, aburridas y no sirven para nada (alguna vez pasó por mi mente: "si las matemáticas fueran útiles en la vida cotidiana, el casarse sería como sacarle la derivada a una pareja a y b de personas, y cuando simplemente les venga en gana, se integrarían... y todo como al inicio, dos elementos a y b separados"). El mito se extiende por todos lados, como un valuarte cultural: hombres, mujeres, adolescentes, niños, ancianos, padres de familia (que lo usan como excusa para evadir su responsabilidad como padres de que sus hijos cumplan la tarea escolar). Incluso, los profesores de enseñanza básica, quienes no son doctos académicos en la matemática y llegan a evadir su responsabilidad de enseñarlas argumentando cosas similares a lo antes escrito; pero ¿adivinen qué?  ¡No es necesario ser un sabio para enseñar buenas matemáticas en la escuela básica! Basta con un conocimiento básico de ellas, voluntad, creatividad y astucia para buscarles el sentido.

¡La cosa es hallarles el sentido!

 Así pues, las matemáticas que tanto son amadas por los de un escueto bando, y tan odiadas por los del otro numeroso bando, son las mismas; practicamente, lo que las hace diferentes no es más que cómo las ve cada bando y hasta dónde están dispuestos a llevar su propia capacidad de la mano con ellas.

No es que las personas comunes y corrientes sean estúpidas y no puedan aprender matemáticas, es que culturalmente se nos presenta una barrera que bloquea nuestro encuentro con ellas. Todo lo que debemos hacer (no digo que sea fácil) es sortear el obstáculo y mirar lo que hay del otro lado del muro sin el menor recelo y con la mayor disposición a encontrarle un sentido en nuestra vida.

CURIOSIDADES.....

La invención del 0 se debe a los hindúes y se produjo hacia el siglo IX, aunque fueron los árabes los que lo introdujeron en Europa. Al parecer, el primer matemático importante que hizo uso del signo 0 fue el árabe Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, en el 810 de nuestra era, aunque no adquirió su actual significado hasta el siglo XVII. 

La Tierra tarda 365'2422168 días en su movimiento de rotación alrededor del Sol, aunque se toman 365 días que es el año civil. Para compensar el error que en cuatro años supone 0'9688671... días, Julio César dispuso que cada cuatro años se aumentara la duración del año en un día y de esta manera aparecieron los años bisiestos y el calendario juliano.

Pero no se resolvió del todo el problema porque el error es de 0'9688671... días y no 1 día. El papa Gregorio XIII en el año 1582 dispuso suprimir 3 días cada 400 años, dejando de ser bisiestos los años que terminen en dos ceros y el número de sus centenas no sea divisible por 4. Para compensar los errores hasta entonces, se pasó el 4 de octubre de 1582 al 15 del mismo mes. A este nuevo calendario se le conoce como calendario gregoriano.

NÚMEROS PRIMOS

Un número primo es un número entero mayor que cero, que tiene exactamente dos divisores positivos. También podemos definirlo como aquel número entero positivo que no puede expresarse como producto de dos números enteros positivos más pequeños que él, o bien, como producto de dos enteros positivos de más de una forma. Conviene observar que con cualquiera de las dos definiciones el 1 queda excluido del conjunto de los números primos.

    Ejemplos: 

a) El 7 es primo.

 Sus únicos divisores son 1 y 7. Sólo puede expresarse como producto de 7·1.

b) El 15 no es primo. 

Sus divisores son 1, 3, 5 y 15. Puede expresarse como 3·5. (y también como 15·1)

El término primo no significa que sean parientes de alguien. Deriva del latín "primus" que significa primero (protos en griego). El teorema fundamental de la aritmética afirma que todo número entero se expresa de forma única como producto de números primos. Por eso se les considera los "primeros", porque a partir de ellos obtenemos todos los demás números enteros. (El 15 se obtiene multiplicando los primos 3 y 5)

    Los 25 primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97, que son todos los primos menores que 100.

    En la siguiente tabla tenemos todos los primos menores que 1000, que hacen un total de 168 (21×8)

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71	73
79	83	89	97	101	103	107	109	113	127	131	137	139	149	151	157	163	167	173	179	181
191	193	197	199	211	223	227	229	233	239	241	251	257	263	269	271	277	281	283	293	307
311	313	317	331	337	347	349	353	359	367	373	379	383	389	397	401	409	419	421	431	433
439	443	449	457	461	463	467	479	487	491	499	503	509	521	523	541	547	557	563	569	571
577	587	593	599	601	607	613	617	619	631	641	643	647	653	659	661	673	677	683	691	701
709	719	727	733	739	743	751	757	761	769	773	787	797	809	811	821	823	827	829	839	853
857	859	863	877	881	883	887	907	911	919	929	937	941	947	953	967	971	977	983	991	997

HISTORIA DEL CALCULO DE PI

        Nos encontramos con el número π cuando dividimos la longitud de una circunferencia entre su diámetro. Podemos hallar una aproximación con cualquier objeto redondo como, por ejemplo, un bote de conservas. Para llevar a cabo el experimento he buscado uno en mi despensa y lo he medido. He obtenido para la longitud de la circunferencia 26'7 cm, y para el diámetro 8'5 cm.

        Al dividir la longitud (26'7) entre el diámetro (8'5) se obtiene 3'141176... (que está muy cerca del valor teórico). Los objetos redondos (ruedas, recipientes...) fueron utilizados por el hombre desde muy antiguo. En algún momento debieron darse cuenta de que ese "tres y un poco" era fundamental para calcular las longitudes, áreas y volúmenes de los cuerpos redondos.

        Los antiguos egipcios (hacia 1600 a. de C.) ya sabían que existía una relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro; y entre el área del círculo y el diámetro al cuadrado (seguramente de forma intuitiva). En el Papiro de Rhind puede leerse lo siguiente: "Corta 1/9 del diámetro y construye un cuadrado sobre la longitud restante. Este cuadrado tiene el mismo área que el circulo". Es decir, el área del círculo (llamémosla A) es igual a 8/9 del diámetro al cuadrado (d=2r), A = d²*64/81 = 4r²*64/81 = r²*256/81. Esto equivale a decir que asignaban a π el valor 256/81, aproximadamente 3'16.

 En Mesopotamia, más o menos por la misma época, los babilonios utilizaban el valor 3'125 (3+1/8) según puede leerse en la Tablilla de Susa.

Los geómetras de la Grecia clásica sabían que la razón entre la longitud de una circunferencia cualquiera y su diámetro es siempre una constante (el número al que ahora llamamos pi). También conocían y habían conseguido demostrar que tanto la razón entre el área de un círculo y su diámetro al cuadrado, como la del volumen de una esfera y el cubo de su diámetro eran constantes (desconocidas en aquel momento, libro XII de "Los Elementos" de Euclides). Fue Arquímedes (siglo III a. de C.) quien determinó que estas constantes estaban estrechamente relacionadas con π. Además, utilizó el método de exhaución, inscribiendo y circunscribiendo en una circunferencia polígonos de hasta 96 lados y consiguiendo una magnífica aproximación (si tenemos en cuenta los medios con los que contaba), 3+10/71 < π < 3+1/7; es decir, el número buscado está entre 3'1407 y 3'1428.

 En el siglo II d. de C., Ptolomeo utiliza polígonos de hasta 720 lados y una circunferencia de 60 unidades de radio para  aproximarse un poco más, y da el valor 3 + 8/60 + 30/3600 = 377/120 =3'14166

En China también se hicieron esfuerzos para calcular su valor. Liu Hui en el siglo III, utiliza polígonos de hasta 3072 lados para conseguir el valor de 3'14159, y Tsu Ch'ung Chi en el siglo V da como valor aproximado 355/113 = 3'1415929

 De la India nos han llegado unos documentos llamados Siddhantas, que datan del 380 d. de C. Son unos sistemas astronómicos en los que se da a π el valor 3 + 177/1250, que es exactamente 3'1416. A caballo entre los siglos V y VI vive un importante matemático, Aryabhata, que en su libro Aryabhatiya da una regla de la que obtenemos ese mismo valor: "Suma 4 a 100, multiplica por 8 y súmale 62.000. El resultado te da aproximadamente la circunferencia de un círculo cuyo diámetro es 20.000". Muchos años después, hacia el 1400, otro matemático hindú, Madhava descubre los desarrollos en serie del seno, coseno y arco tangente, y consigue calcular 11 cifras decimales sumando 21 términos de la serie que, más de doscientos años después, redescubriría Gregory.

 En el siglo IX, Al-Khwarizmi hace notar en su tratado de álgebra que: "el hombre práctico usa 22/7 como valor de π, el geómetra usa 3, y el astrónomo 3,1416."

En 1429, Al-Khasi sigue utilizando el método de Arquímedes y trabaja con polígonos de hasta 805.306.368 lados (3·2²⁸) para obtener el valor 3'14159265358979 (14 cifras). En el siglo XVI, el matemático francés Vieta usó polígonos de hasta 393.216 (3·2¹⁷) lados para aproximarse hasta 3'141592653 (9 cifras).

Pero el mayor logro conseguido con este método se debe al matemático alemán, residente en Holanda, Ludolf van Ceulen (1540-1610), que trabajó en el cálculo de π casi hasta el día de su muerte. Llegó a trabajar con polígonos de 4₃611.686₂018.427₁387.904 lados (2⁶²) consiguiendo una aproximación de 35 cifras decimales. Su deseo fue que, después de su muerte, se grabará sobre su lápida el número con los 35 decimales calculados.

El siguiente avance teórico se debe a dos holandeses. Willebrod Snell (1580-1626) consigue demostrar  que el arco x está comprendido entre 3*sen(x)/(2+cos(x))  y  1/3*(2*sen(x)+tan(x)). Christian Huyghens (1629-1695), cuya obra ha sido calificada como modelo de razonamiento geométrico, propone que el arco x puede aproximarse por la expresión (sen²(x)*tan x)^1/3 . Con su método, Snell obtuvo 34 decimales exactos, partiendo del cuadrado y doblando 28 veces el número de lados. Como ejemplo tomemos x = π/16, y las fórmulas de Snell multiplicadas por 16 nos dan unos valores de 3.141566592 y 3.141697707 respectivamente, lo que da una idea de lo próximos que están a π.

Valores obtenidos para PI a lo largo de la historia

Las columnas indican autor del cálculo, año y número de decimales.

Babilonios                  Hacia el 2000 a.C.     1     3.125  = 3 + 1/8
Egipcios                    Hacia el 2000 a.C.     1     3.16049=(16/9)^2
Arquímedes                  Hacia el 250 a.C.      3     3.1418 (media) 
Ptolomeo                      150                  3     3.14166  
Liu Hui                       263                  5     3.14159  
Tsu Ch'ung Chi                480                  6     3.1415929(=355/113)
Aryabhata                     499                  4     3.14156  
Al-Khowarizmi                 800                  4     3.1416  
Al-Kashi                     1429                 14     3.14159265358979
Vieta                        1593                  9     3.141592653
Romanus                      1593                 15     3.141592653589793
Van Ceulen                   1596                 20  

Muy importante!!!

Compañeros les dejo este link de una pagina de Internet donde se encuentran muchos vídeos para la utilizar en la aulas, ojalá sean de su agrado!

http://es.khanacademy.org

PRODUCTOS NOTABLES

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)

Demostración:

Veamos un ejemplo explicativo:

Tenemos la expresión algebraica

x² + 9 x + 14

obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )

¿Cómo llegamos a la expresión?

a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x²

b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es (2 + 7)x = 9x

c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14

Así, tenemos:

x² + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x² + (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x + b)

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 + (a – b)x – ab = (x + a) (x – b)

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x² + (a – b)x – ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x – b).

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 – (a + b)x + ab = (x – a) (x – b)

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x² – (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x – a) (x – b).

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

mnx2 + ab + (mb + na)x = (mx + a) (nx + b)

En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio (mx y nx).

Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma mnx² + ab + (mb + na)xdebemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (mx + a) (nx + b).

Cubo de una suma

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a³ + 3a²b + 3ab² + b³debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)³.

Cubo de una diferencia

a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a³ – 3a²b + 3ab² – b³debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)³.

Potenciación radcacion y logaritmación.

Potenciación radcacion y logaritmación.

Potenciación es una operación de composición que tiene por objeto hallar las potencias de un numero.

Potencia de un numero: es el resultado de tomarlo como factor dos a mas veces

3² = 9.             3 = base          2 = exponente            9 = potencia

Propiedades de los exponentes

Exponente cero: cuando el exponente es cero su potencia siempre es igual a 1, execto cuando la base sea cero

                        X⁰ = 1,

Exponente uno: si el exponente es uno, su potencia es igual a su base. X¹ = X.

Base igual  a uno: su potencia es siempre es igual a uno 1ⁿ = 1

Ccuando se multiplican potencias de igual base se suman los exponentes y la base se pasa igual.

2² por 2² = 2⁶ = 64

3³ por 3 por 3³ = 3⁸ = 6561

Para dividir potencias de la misma base se restan los exponente y la basese pasa igual.

3⁵+ 3² = 3³ = 27

Como la potencia no es cunmutativa, pues no se pueden cambiar la base por el exponente sus operaciones inversas son:

Redicacion: consiste en encontrar la base conociendo la potencia y el exponente.

Logaritmación: hallar el exponente conociendo la potencia y la base.

Radicación

     3= índice o grado          8= radicando o sdubradical                    2= raíz

 
 = radical

Raíz de un numero es el numero que elevado a la potencia que indica el índice reproduce la cantidad subradical.

Una raíz es exacta cuando elevada a la potencia que indica el índice da el radical.

Una raíz es nexacta cuando ningún numero entero elevado que indica el índice de el redicando

Caso especial de la rdicacion.

Raíz cuadrada.

Es la operación inversa de elevar al cuadrado un numero, es decir, dado un numero, se busca otro que elevado al cuaadrado sea igual al numero original.

Cuadrado perfecto: son los numero cuya raíz cuadrada es exacta.

1)      Dividir el radicando el periodos de dos en dos de derecha a izquierda. El ultimo periodo de la izquierda uede tener una sola cifra.

2)      El numero de periodos ssera el numero de linesas para el proceso. La primer línea esta dedicada a la raíz.

3)      Se busca un numero que multiplicardo por si mismo de el primer periodo o se acerque a el sin pasearse.

4)      Este numero se multiplica y se resta al primer periodo.

5)      Se baja el siguiente periodo y se duplica la raíz utilizndo la línea auxiliar qu esta abajo.

6)      Se tapa la cifra de la derecha en el residuo y se observa cuantas veces cabe la raíz duplicada en el numero qeuse forma.

7)      Se repiten los pasos hasta terminar.

8)      Se comprueba mulplicndo la raíz por si misma y sumándole el residuo.

Logaritmación

Logaritmo de un numero con relación a otro llamado basees el exponente a que hay que elevar la base para que de dicho numero.

3^x =9                                                              log₃ 9=2

5^x =125                                                          log₅ 125= 3

Logaritmos vulgares.

Los logaritmos mas usados son los de base 10, que se llaman logaritmos vulgares.

En esatos, el subíndice 10 se omite, de modo que cuando ho hay subíndice se sobreentiende que la base es 10.

10⁰                                                            por lo tnato                            log 1=0

10¹                                                            por lo tnato                            log 10=1

10²                                                            por lo tnato                            log 100=2

10³                                                            por lo tnato                            log 1000=3

Para que el logaritmo de un numero natural con respecto a una base dada sea otro numero natural, es necesario que el numero sea una potencia perfecta de la base         log₂ 8= 3 porque 2³ = 8

División

División

Es la operación inversa a la multiplicación. Tiene por objeto dado el producto de dos factores  (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente)

Dividir un número entre otro es hallar un numero que multiplicado por el divisor de el dividendo.

D / d = c          D = dividendo, d = divisor, c = cociente (cuantas veces)

Divisor X cociente = dividendo

Dividendo entre cociente = divisor

La división exacta se considera una resta abreviada en el cual el divisor se resta todas las veces que se pueda del dividendo y el cociente indica el numero de restas.

Para dividir un entero por la unidad seguida de ceros se separan de su derecha, con un punto decimal, tantas cifras como ceros acompañen a la unidad.

567 / 10 = 56.7

1254 / 100 = 12.54

985678 / 1000 = 985.687

400 / 100 = 4

El cociente tiene siempre una cifra mas que las cifras que quedan a la derecha del primer dividendo parcial.

78   54678       tendrá 2 + 1 cifras enteras.

Comprobación:

Multiplicando el divisor por el cociente y sumándole el residuo.

Si la división es exacta, de divide el dividendo entre el cociente para obtener el divisor. Si no es exacta se resta el residuo del dividendo y esta diferencia dividido entre el cociente tiene que dar el divisor.

Operaciones indicadas de división

Operaciones indicadas de división o multiplicación en que no hay signos de agrupación

            Primero se resuelven los productos y cocientes.

            Luego las sumas y las restas

             6 / 3 + 4 / 4 = 2 + 1 = 3

            5 X 4 / 2 + 9 / 3 – 8 / 2 X 3 = 10 + 3 – 12 = 1

Operaciones indicadas de división en que hay signos de agrupación.

   Primero se resuelven las operaciones encerradas en los paréntesis.

Luego las operaciones que quedan indicadas se resuelven como en el caso anterior

  (5 + 4) / 3 + (8 – 4) / 2 = 9 / 3 + 4 / 2 = 3 + 2 = 5

(30 – 10) / (7 – 2) + 5 / (9 – 4) / 3 = 20 / 5 + 5 / 5 + 3 =  4 + 1 + 3 = 8 

Multiplicación

Multiplicación

La multiplicación es una operación de composición que tiene por objeto, dos números llamados multiplicando y multiplicador, hallar un numero llamado producto que sea respecto del multiplicando lo que el multiplicador es respecto de la unidad.

Asi, multiplicar 4 por 3 es hallar un el producto

Ejemplo:              4     Multiplicando

                          X 3     Multiplicador

                           12     Producto

NOTA: el producto de dos números se indica con el signo << X >> o con un punto colocado entre los factores, que es el nombre que se le da al multiplicando y al multiplicador.

Así, el producto de 6 por 5 se indica 6 X 5 ó 6.5

Propiedades de la multiplicación

Las propiedades o leyes de la multiplicación son 6: ley de uniformidad, ley conmutativa, ley asociativa, ley disociativa, ley de monotonía y ley distributiva.

            Ley de uniformidad esta ley puede enunciarse de tres modos que son equivalentes

El producto de dos números tiene un valor único o siempre igual.

            5 sillas X 2 = 10 sillas

            5 mesas X 2 = 10 mesas

            5 días X 2 = 10 días

            Ley conmutativa: el orden de los factores no altera el producto.

Se pueden considerar dos casos: 1) Que se trate de dos factores.

 2) Que se trate de más de dos factores.

1) Que se trate de dos o mas factores

Sea el producto de 6 x 4. Vamos a demostrar que 6 x 4 =4 x 6 en efecto:

6 x 4 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24

4 x 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24

Y como dos cosas iguales a una tercera son iguales entre si.

En general      ab = ba

Que se trate de mas de dos factores

Sea el producto 5 x 4 x 3 x 2 vamos a desmostrar que invertido el orden de los fatores no se altera el producto.en efecto: el producto 5 x 4 x 3 x 2 se puede considerar descompuesto en estos dos factores: 5.4 y 3.2 y como para dos factores ya esta demostrado no altera el producto, tendremos

5.4 x 3.2 = 3.2 x 5.4

Ley asociativa el producto de varios números no varia sustituyendo dos o mas factores en dos o mas factores

Operaciones indicadas de multiplicación

Operaciones indicadas en que no hay signos de agrupación:

 Deben efectuarse en este orden primero, los productos indicados y luego las sumas y las restas.

Ejemplos:

5 + 3 x 4 – 2 x 7

Primero los productos 3 x 4 =12 y 2 x 7 = 14

            5 + 3 x 4 – 2 x 7 =  5 + 12 – 14 = 3

 8 – 2 x 3 + 4 x 5 – 6 x 3

Primero los productos 2 x 3 = 6, 4 x 5 = 20 y 6 x 3 =18  

8 – 2 x 3 + 4 x 5 – 6 x 3 = 8 – 6 + 20 – 18 = 4

Operaciones indicadas en que hay signos de agrupación

Deben efectuarse este orden, primero las operaciones enlos paréntesis y luego las operaciones que queden indicadas

Ejemplos:

(5 + 3) 2 + 3 (6 – 1)

  En la practica se suele suprimir el signo <<X>>entre un numero y un paréntesis o entre dos paréntesis en este ejemplo te lo explico, (5 + 3)2 = (5 + 3) X 2 y 3(6 – 1) = 3 X (6 – 1) 

8 X 2 + 3 X 5 = 16 + 15 = 31

(5 + 3) 2 + 3 (6 – 1) = 31

(8 – 2)5 – 3(6 – 4) + 3(7 – 2) (5 + 4)

6X5 – 3X2 + 3X5X9 =

30 – 6 + 135 =159  

El producto de una resta por un número

            Para multiplicar una resta indicada por un número se multiplican el minuendo y el sustraendo por ese numero y se restan los productos parciales

            Ejemplos:

(8 – 5)3la multiplicación será así 8 X 3 – 5 X 3 =24 – 15 = 9      

Suma algebraica

Una expresión como 7 – 2 + 9 – 3 que contiene varios signos <<+>> ó <<–> >  es un suma algebraica.

Para multiplicar una suma algebraica por un numero se multiplica cada termino de la suma por dicho numero, poniendo detrás de cada producto pacila el signo <<+>> si el termino es positivo y <<–>> si es negativo.