Límites (una introducción)

Aproximarse

A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más!

Usemos por ejemplo esta función:

(x²-1)/(x-1)

Y calculemos su valor para x=1:

(1²-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0

¡Pero 0/0 es un problema! En realidad no podemos saber el valor de 0/0, así que tenemos que encontrar otra manera de hacerlo.

En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:

x	(x2-1)/(x-1)
0.5	1.50000
0.9	1.90000
0.99	1.99000
0.999	1.99900
0.9999	1.99990
0.99999	1.99999
...	...

Vemos que cuando x se acerca a 1, (x²-1)/(x-1) se acerca a 2

Ahora tenemos una situación interesante:

• Cuando x=1 no sabemos la respuesta (es indeterminada)
• Pero vemos que va a ser 2

Queremos dar la respuesta "2" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a estas situaciones

El límite de (x²-1)/(x-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2

Y con símbolos se escribe así:

Así que es una manera especial de decir "ignorando lo que pasa al llegar, cuando te acercas más y más la respuesta se acerca más y más a 2"

En un gráfico queda así: Así que en realidad no puedes decir cuánto vale en x=1. Pero sí puedes decir que cuando te acercas a 1, el límite es 2.

¡Mira los dos lados!

Es como subir una colina y darte cuenta de que el camino ha "desaparecido" mágicamente... ... pero si sólo miras uno de los dos lados, ¿quién sabe qué está pasando? ¡Así que tienes que mirar las dos direcciones para estar seguro de dónde "debe de estar"!

Probemos por el otro lado:

x	(x2-1)/(x-1)
1.5	2.50000
1.1	2.10000
1.01	2.01000
1.001	2.00100
1.0001	2.00010
1.00001	2.00001
...	...

También va hacia 2, así que todo está bien

Cuando es distinto en los dos lados

Pero y si tenemos una función "f(x)" con un "salto" así:

¡En esta función el límite no existe en "a" ... ! No puedes decir cuál es, porque hay dos respuestas contradictorias: 3.8 por la izquierda, y 1.3 por la derecha Pero sí puedes usar los signos "-" o "+" (como en el dibujo) para definir los límites laterales: el límite por la izquierda (-) es 3.8 el límite por la derecha (+) es 1.3 Y el límite ordinario "no existe"

¿Los límites sólo son para funciones difíciles?

¡Los límites valen también cuando ya sabes el valor al llegar! Nadie ha dicho que sean sólo para funciones complicadas.

Por ejemplo:

Sabemos perfectamente que 10/2 = 5, pero también podemos usar límites (¡si queremos!)

Acercarse al infinito

El infinito es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro.

Vamos a empezar con un ejemplo interesante.

Pregunta: ¿Cuál es el valor de 1/∞?

Respuesta: ¡No lo sabemos!

¿Por qué no lo sabemos?

La razón más simple es que infinito no es un número, es una idea. Así que 1/∞ es un poco como decir 1/belleza o 1/alto.

A lo mejor podríamos decir que 1/∞ = 0 ... pero eso es un poco problemático, porque si dividimos 1 en infinitas partes y resulta que cada una es 0, ¿qué ha pasado con el 1?

De hecho 1/∞ es indefinido.

¡Pero podemos acercarnos a él!

Así que en lugar de intentar calcular con infinito (porque no sacaremos ninguna respuesta razonable), vamos a probar con valores de x más y más grandes:

x 1/x 1 1.00000 2 0.50000 4 0.25000 10 0.10000 100 0.01000 1,000 0.00100 10,000 0.00010

Ahora vemos que cuando x crece, 1/x tiende a 0

Ahora tenemos una situación interesante:

• No podemos decir qué pasa cuando x llega a infinito
• Pero vemos que 1/x va hacia 0

Queremos decir que la respuesta es "0" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a esto

El límite de 1/x cuando x tiende a infinito es 0

Y lo escribimos así:

En otras palabras:

Cuando x va a infinito, 1/x va a 0

Cuando veas "límite", piensa en "acercarse"

Es una manera matemática de decir que "no estamos hablando de lo que pasa cuando x=∞, pero sabemos que cuando x crece, la respuesta se acerca más y más a 0".