CONJUNTOS DE NÚMEROS

CONJUNTOS DE NÚMEROS.

En la matemática elemental de conjuntos importantes que son los conjuntos numéricos en especial el de los números naturales que lo conocemos con la letra “R”  al menos que no se diga otra cosa que el conjunto universal es el conjunto de los números reales (el conjunto de los números reales con sus propiedades se llama sistema de los números reales).

NÚMEROS REALES R

Una de las propiedades de los números reales es el poderlos representar por puntos en una línea recta. Primero se elige un punto llamado origen el “0” y otro punto a la derecha. Resulta una manera natural entre los números de la recta y los números reales, que cada número real único y que cada número real viven representados por un punto único.

ENTEROS Z

Los enteros son los números reales…, 3 – 2 – 1 – 0 1, 2, 3… señalando los enteros por la letra Z = (…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…) una de las propiedades importantes es que son «cerrados» respecto a la suma, producto y la diferencia de dos enteros a su vez es un entero excepto en la división.

NÚMEROS RACIONALES Q

Los números racionales no se pueden expresar como los enteros, señalando el conjunto de los números racionales con la letra Q, Q= {X | X = p/q donde P є Z q є Z}, ya que todo entero es racional por ejemplo 5 = 5/1 por tanto Z es un subconjunto de Q.

Los números racionales son cerrado no solo en la adicción multiplicación y sustracción si no también en la división (excepto por el 0) y que el cociente de los números racionales es un numero racional, nuevamente.

NÚMEROS NATURALES. N

Los números naturales son los enteros positivos, señalando el conjunto de los naturales por una N. = {1, 2, 3,…}

Los números naturales fueron el primer sistema que se formo y se usaba crucialmente para contar.

NÚMEROS IRRACIONALES. Q

Los números irracionales son los reales que no son racionales, ya que son el complemento del conjunto de los racionales Q en los números reales.

DECIMALES Y NÚMEROS REALES

Todo número real puede ser representado por un decimal, la representación en decimal p/q  se encuentra dividiendo el «numerador p por el denominador q»,

Ejemplo:         3/8 = 0. 375

3/8 =0. 375000

3/8 = 0. 374999

Si la división no termina y las cifras se repiten consecutivamente:

Ejemplo: 2/11 = 0. 181818…

Lo que caracteriza a los números reales de los decimales se repiten continuamente son infinitas.

DIFERENCIA

DIFERENCIA

La diferencia  de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos que están en A pero no en B.  A – B se  lee «A diferencia B o  A menos B.»

Ejemplo: en el diagrama de VENN se ha rayado A – B. EL  área de A  que no es parte de B.

Observación: el conjunto A contiene al A – B como subconjunto (A – B) с A.

Complemento: el complemento de un conjunto A es el conjunto de elementos que no le  pertenece a este conjunto la diferencia del conjunto universal  U.  A^, complemento.

Ejemplo: En el diagrama de VENN se a rayado el complemento de A. el conjunto universal U es el área del rectángulo.

Observación: el complemento del conjunto universal U es el conjunto vacio O y viceversa

 U = Ø y Ø = U

INTERSECCION

INTERSECCIÓN

La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que de A y B de dichos elementos que pertenecen a los dos conjuntos A ∩ B  «se lee A intersección B».

Ejemplo: en el diagrama de VENN se ha rayado A ∩ B en el área común de los conjuntos.

Observación: cada uno de los conjuntos A y B contienen al A ∩ B como subconjunto.

CONJUNTO UNION

OPERACIONES CON CONJUNTOS

En aritmética se suma, se resta y se multiplica a cada par de números x, e y se les asigna un numero sea suma, resta o multiplicación y la diferencia xy llamado producto de x e y, en este capitulo se van a definir las operaciones de unión intersección y diferencia de conjuntos,

UNIÓN.

La unión de los conjuntos A Y B es el  conjunto de todos los elementos que pertenecen al A o al B o a ambos A U B Y «se lee A unión B». Ejemplo en el diagrama de VENN A U B aparece rallado, el área de A  y la de B.

Se sigue que la definición de la unión de las conjunciones que A U B y B U A son el mismo conjunto A U B = B U A.

CONJUNTOS DISTINTOS

CONJUNTOS DISTINTOS

  

Si dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes y por eso se dice que no disjuntos.

            Ejemplo: sean A = {1, 3, 7, 8} y B = {2, 4, 7, 9}; A y B no son disjuntos, pues 7 esta en ambos conjuntos, o sea que 7 є A y 7 є B.

DIAGRAMAS DE VENN-EULER     se logra mostrar de una manera sencilla las relaciones entre los conjuntos mediante los diagramas de Venn con una área plana delimitada por un círculo.

            Ejemplo: supóngase A C B y A ≠ B  

   

Y los elementos de los conjuntos se presentan con las letras minúsculas, a, b, x, y.

Al definir un conjunto por la enumeración de sus elementos, un ejemplo,  el conjunto A que consisten los números 1, 3, 7, 10, A = {1, 3, 7, 10}

Separando los elementos con comas y encerrándolos entre llaves a esto se le llama forma tabular pero se define un conjunto debe tener sus elementos. Ejemplo: el conjunto B de los números pares entonces se emplea con una letra por lo general la letra es X asi se escribe B = { x | x es par} y se lee «B es un conjunto de los números X tales que X es par», se dice que esta es la forma de comprensión o constructiva de un conjunto, para aclarar el ejemplo anterior se escribe nuevamente los conjuntos  de los ejemplos 1-1 a 1-10 de significado por los conjuntos de A₁ y A₂ … A₁₀. Respectivamente si un objeto X es elemento del conjunto A, si A contiene a x como uno de sus elementos.

.

CONJUNTOS DE CONJUNTOS

CONJUNTOS DE CONJUNTOS

Ocurre que a veces los elementos de un conjunto a su vez son conjuntos por ejemplo el conjunto de todos los conjuntos los subconjuntos de A PARA EVITAR decir conjunto de conjunto se puede decir (familia de conjuntos o clase de conjuntos). En estos casos y para evitar confusiones se emplean letras inglesas A, B  para designar familias o clases de conjuntos.

            

Ejemplo: en geometría es común hablar de familias de rectas o familias de curvas pues rectas y curvas son conjuntos de puntos.

CONJUNTO UNIVERSAL

Este conjunto se llamara conjunto universal o universo del discurso y se señalara por una U.    Ejemplos: en geometría plana el conjunto universal es el de todos los puntos del plano.

                        En los estudios sobre población humana el conjunto universal es el de todas las gentes del mundo.

CONJUNTO POTENCIA

La familia de todos los subconjuntos de un conjunto S se llama conjunto potencia de S.  2^s

Ejemplos:

            Si M = {a, b} entonces 2^M = {{a, b}, {a}, {b}, ø}

            Si T = {4, 7 ,8} entonces 2^T = {T, {4, 7}, {4, 8}, {7, 8}, {4}, {7}, {8},ø}

Si un conjunto S es finito, digamos que S tiene n elementos entonces el conjunto potencia de S tendrá 2ⁿ elementos.

SUBCONJUNTOS

SUBCONJUNTOS

Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de el conjunto B, se dice que A es un subconjunto de B, si x є A implica x є B. se señala esta relación así (A Ċ B) también se puede leer << A esta contenido en B>>

            Ejemplos: el conjunto C = {1, 3, 5} es un subconjunto de D = {5, 4, 3, 2, 1} ya que el numero 1, 3, y 5 de C pertenece a D.

El conjunto E = {2, 4, 6} es un subconjunto del F = {6, 4, 2} ya que los números 2, 4, y 6 de E pertenecen a F.

Dos conjuntos A y B son iguales si, y solo si, A esta contenido en B y B esta contenido en A.

Observaciones

1: el conjunto vacio ø se considera subconjunto de todo conjunto.

2: si A no subconjunto de B, si A esta contenido en B por lo menos un elemento que no es de B.

CONJUNTO VACIO

CONJUNTO VACÍO

El conjunto vacío es el conjunto que carece de elementos también se suele llamar conjunto nulo, a este conjunto se le da el símbolo ø.

Ejemplos: si A es un conjunto de personas vivientes mayores  de 200 años, A es vacío según las estadísticas conocidas.

Sea B = {x | x² = 4, x es impar}, B es entonces un conjunto vacío.

CLASES DE CONJUNTOS

CONJUNTOS FINITOS O INFINITOS

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos, un conjunto finito consta de un número de elementos distintos es decir que el proceso de contar puede acabar. Al contrario del conjunto infinito.

Ejemplos: si M es el conjunto de los días de la semana, entonces M es finito.

            Si N = {2, 4, 6, 8. . . .}, N es infinito.

            Si P = {x / x es un rio de la tierra}, P es finito 

IGUALDAD DE CONJUNTOS

Se dice que los conjuntos A y B son iguales si ambos tienen los mismos elementos, es decir si cada elemento que pertenece a A pertenece también a B y viceversa, se señala la igualdad de los conjuntos A y B. (A = B)

Ejemplo: sean A = {1, 2, 3, 4} y B {3, 1, 4, 2} entonces A = B pues cada elemento a los dos conjuntos.

                        
Sean E = {x | x – 3x = - 2} F = {2, 1} G = {1, 2, 2, 1}, resulta que E = F = G

CONJUNTOS

CONJUNTOS:

El conjunto es fundamental en todas las ramas de las matemáticas, dicho conjunto es una lista que sirve para la colección o para la clasificación de objetos ya definidos que pueden ser de cualquier cosa (números, personas, letras, ríos, etc.)

Y se puede leer también «x pertenece a A» o « x esta en A» si por lo contrario un objeto no es elemento del conjunto A no contiene a x entre sus elementos ( X є A) es costumbre que en los escritos de matemáticas se ponga una línea vertical «I» u oblicua «/» como un símbolo para indicar lo opuesto o la negación de un símbolo.

Ejemplo: si A = {a, e, i, o, u}, entonces a є A, b є A, e є A, f є A

Potenciación radcacion y logaritmación.

Potenciación radcacion y logaritmación.

Potenciación es una operación de composición que tiene por objeto hallar las potencias de un numero.

Potencia de un numero: es el resultado de tomarlo como factor dos a mas veces

3² = 9.             3 = base          2 = exponente            9 = potencia

Propiedades de los exponentes

Exponente cero: cuando el exponente es cero su potencia siempre es igual a 1, execto cuando la base sea cero

                        X⁰ = 1,

Exponente uno: si el exponente es uno, su potencia es igual a su base. X¹ = X.

Base igual  a uno: su potencia es siempre es igual a uno 1ⁿ = 1

Ccuando se multiplican potencias de igual base se suman los exponentes y la base se pasa igual.

2² por 2² = 2⁶ = 64

3³ por 3 por 3³ = 3⁸ = 6561

Para dividir potencias de la misma base se restan los exponente y la basese pasa igual.

3⁵+ 3² = 3³ = 27

Como la potencia no es cunmutativa, pues no se pueden cambiar la base por el exponente sus operaciones inversas son:

Redicacion: consiste en encontrar la base conociendo la potencia y el exponente.

Logaritmación: hallar el exponente conociendo la potencia y la base.

Radicación

     3= índice o grado          8= radicando o sdubradical                    2= raíz

 
 = radical

Raíz de un numero es el numero que elevado a la potencia que indica el índice reproduce la cantidad subradical.

Una raíz es exacta cuando elevada a la potencia que indica el índice da el radical.

Una raíz es nexacta cuando ningún numero entero elevado que indica el índice de el redicando

Caso especial de la rdicacion.

Raíz cuadrada.

Es la operación inversa de elevar al cuadrado un numero, es decir, dado un numero, se busca otro que elevado al cuaadrado sea igual al numero original.

Cuadrado perfecto: son los numero cuya raíz cuadrada es exacta.

1)      Dividir el radicando el periodos de dos en dos de derecha a izquierda. El ultimo periodo de la izquierda uede tener una sola cifra.

2)      El numero de periodos ssera el numero de linesas para el proceso. La primer línea esta dedicada a la raíz.

3)      Se busca un numero que multiplicardo por si mismo de el primer periodo o se acerque a el sin pasearse.

4)      Este numero se multiplica y se resta al primer periodo.

5)      Se baja el siguiente periodo y se duplica la raíz utilizndo la línea auxiliar qu esta abajo.

6)      Se tapa la cifra de la derecha en el residuo y se observa cuantas veces cabe la raíz duplicada en el numero qeuse forma.

7)      Se repiten los pasos hasta terminar.

8)      Se comprueba mulplicndo la raíz por si misma y sumándole el residuo.

Logaritmación

Logaritmo de un numero con relación a otro llamado basees el exponente a que hay que elevar la base para que de dicho numero.

3^x =9                                                              log₃ 9=2

5^x =125                                                          log₅ 125= 3

Logaritmos vulgares.

Los logaritmos mas usados son los de base 10, que se llaman logaritmos vulgares.

En esatos, el subíndice 10 se omite, de modo que cuando ho hay subíndice se sobreentiende que la base es 10.

10⁰                                                            por lo tnato                            log 1=0

10¹                                                            por lo tnato                            log 10=1

10²                                                            por lo tnato                            log 100=2

10³                                                            por lo tnato                            log 1000=3

Para que el logaritmo de un numero natural con respecto a una base dada sea otro numero natural, es necesario que el numero sea una potencia perfecta de la base         log₂ 8= 3 porque 2³ = 8

División

División

Es la operación inversa a la multiplicación. Tiene por objeto dado el producto de dos factores  (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente)

Dividir un número entre otro es hallar un numero que multiplicado por el divisor de el dividendo.

D / d = c          D = dividendo, d = divisor, c = cociente (cuantas veces)

Divisor X cociente = dividendo

Dividendo entre cociente = divisor

La división exacta se considera una resta abreviada en el cual el divisor se resta todas las veces que se pueda del dividendo y el cociente indica el numero de restas.

Para dividir un entero por la unidad seguida de ceros se separan de su derecha, con un punto decimal, tantas cifras como ceros acompañen a la unidad.

567 / 10 = 56.7

1254 / 100 = 12.54

985678 / 1000 = 985.687

400 / 100 = 4

El cociente tiene siempre una cifra mas que las cifras que quedan a la derecha del primer dividendo parcial.

78   54678       tendrá 2 + 1 cifras enteras.

Comprobación:

Multiplicando el divisor por el cociente y sumándole el residuo.

Si la división es exacta, de divide el dividendo entre el cociente para obtener el divisor. Si no es exacta se resta el residuo del dividendo y esta diferencia dividido entre el cociente tiene que dar el divisor.

Operaciones indicadas de división

Operaciones indicadas de división o multiplicación en que no hay signos de agrupación

            Primero se resuelven los productos y cocientes.

            Luego las sumas y las restas

             6 / 3 + 4 / 4 = 2 + 1 = 3

            5 X 4 / 2 + 9 / 3 – 8 / 2 X 3 = 10 + 3 – 12 = 1

Operaciones indicadas de división en que hay signos de agrupación.

   Primero se resuelven las operaciones encerradas en los paréntesis.

Luego las operaciones que quedan indicadas se resuelven como en el caso anterior

  (5 + 4) / 3 + (8 – 4) / 2 = 9 / 3 + 4 / 2 = 3 + 2 = 5

(30 – 10) / (7 – 2) + 5 / (9 – 4) / 3 = 20 / 5 + 5 / 5 + 3 =  4 + 1 + 3 = 8 

Multiplicación

Multiplicación

La multiplicación es una operación de composición que tiene por objeto, dos números llamados multiplicando y multiplicador, hallar un numero llamado producto que sea respecto del multiplicando lo que el multiplicador es respecto de la unidad.

Asi, multiplicar 4 por 3 es hallar un el producto

Ejemplo:              4     Multiplicando

                          X 3     Multiplicador

                           12     Producto

NOTA: el producto de dos números se indica con el signo << X >> o con un punto colocado entre los factores, que es el nombre que se le da al multiplicando y al multiplicador.

Así, el producto de 6 por 5 se indica 6 X 5 ó 6.5

Propiedades de la multiplicación

Las propiedades o leyes de la multiplicación son 6: ley de uniformidad, ley conmutativa, ley asociativa, ley disociativa, ley de monotonía y ley distributiva.

            Ley de uniformidad esta ley puede enunciarse de tres modos que son equivalentes

El producto de dos números tiene un valor único o siempre igual.

            5 sillas X 2 = 10 sillas

            5 mesas X 2 = 10 mesas

            5 días X 2 = 10 días

            Ley conmutativa: el orden de los factores no altera el producto.

Se pueden considerar dos casos: 1) Que se trate de dos factores.

 2) Que se trate de más de dos factores.

1) Que se trate de dos o mas factores

Sea el producto de 6 x 4. Vamos a demostrar que 6 x 4 =4 x 6 en efecto:

6 x 4 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24

4 x 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24

Y como dos cosas iguales a una tercera son iguales entre si.

En general      ab = ba

Que se trate de mas de dos factores

Sea el producto 5 x 4 x 3 x 2 vamos a desmostrar que invertido el orden de los fatores no se altera el producto.en efecto: el producto 5 x 4 x 3 x 2 se puede considerar descompuesto en estos dos factores: 5.4 y 3.2 y como para dos factores ya esta demostrado no altera el producto, tendremos

5.4 x 3.2 = 3.2 x 5.4

Ley asociativa el producto de varios números no varia sustituyendo dos o mas factores en dos o mas factores

Operaciones indicadas de multiplicación

Operaciones indicadas en que no hay signos de agrupación:

 Deben efectuarse en este orden primero, los productos indicados y luego las sumas y las restas.

Ejemplos:

5 + 3 x 4 – 2 x 7

Primero los productos 3 x 4 =12 y 2 x 7 = 14

            5 + 3 x 4 – 2 x 7 =  5 + 12 – 14 = 3

 8 – 2 x 3 + 4 x 5 – 6 x 3

Primero los productos 2 x 3 = 6, 4 x 5 = 20 y 6 x 3 =18  

8 – 2 x 3 + 4 x 5 – 6 x 3 = 8 – 6 + 20 – 18 = 4

Operaciones indicadas en que hay signos de agrupación

Deben efectuarse este orden, primero las operaciones enlos paréntesis y luego las operaciones que queden indicadas

Ejemplos:

(5 + 3) 2 + 3 (6 – 1)

  En la practica se suele suprimir el signo <<X>>entre un numero y un paréntesis o entre dos paréntesis en este ejemplo te lo explico, (5 + 3)2 = (5 + 3) X 2 y 3(6 – 1) = 3 X (6 – 1) 

8 X 2 + 3 X 5 = 16 + 15 = 31

(5 + 3) 2 + 3 (6 – 1) = 31

(8 – 2)5 – 3(6 – 4) + 3(7 – 2) (5 + 4)

6X5 – 3X2 + 3X5X9 =

30 – 6 + 135 =159  

El producto de una resta por un número

            Para multiplicar una resta indicada por un número se multiplican el minuendo y el sustraendo por ese numero y se restan los productos parciales

            Ejemplos:

(8 – 5)3la multiplicación será así 8 X 3 – 5 X 3 =24 – 15 = 9      

Suma algebraica

Una expresión como 7 – 2 + 9 – 3 que contiene varios signos <<+>> ó <<–> >  es un suma algebraica.

Para multiplicar una suma algebraica por un numero se multiplica cada termino de la suma por dicho numero, poniendo detrás de cada producto pacila el signo <<+>> si el termino es positivo y <<–>> si es negativo.