LAS MATEMÁTICAS EN EL DEPORTE

Cuando uno piensa en un matemático no suele asociarlo con el deporte. De hecho, el estereotipo sugiere que ambas disciplinas están en puntas opuestas del espectro de actividades. Pero lo cierto es que los números juegan un papel cada vez más importante en el ámbito deportivo.

Los mejores deportistas y clubes en la actualidad, toman con mucha seriedad la idea de los números y las matemáticas en el  rendimiento de sus jugadores y de cada rama del deporte.

Mientras que hace unas décadas las únicas cifras que importaban eran las del resultado o las que marcaba el cronómetro, hoy no hay deporte que le escape a las estadísticas. Cualquier transmisión televisiva de cualquier evento deportivo incluirá los más variados datos sobre ese encuentro.

El historial del deportista, cuántas veces se enfrentó con su rival y cómo fueron los resultados.

Las distancias, los ángulos, la cantidad de veces que algo ocurre… casi todo está medido.

Lo único que faltaba era alguien que analizara todos esos datos y sacara conclusiones.

Y así nació la figura del matemático deportivo.

"Yo tengo un lema: lo que se puede medir, se puede mejorar", le dice a BBC Mundo Marcelo Albamonte, un contador y extenista que se dedica a esta inusual profesión.

Desde hace un par de años, Albamonte asesora a uno de los mejores tenistas de Argentina, Juan Martín del Potro, quien llegó a ocupar el puesto número 4 del ranking mundial.

Información

En 2011, Albamonte desarrolló un software que le permite ampliar la información que puede recoger de un jugador.

"En general las tecnologías de medición siguen lo que hace la pelota pero con Tenis Metrics se puede seguir lo que hace el jugador", explica.

La información permite dar pauta a un entrenamiento más específico y detallado, además de seguir estrategias de juego adecuadas al rival, terreno de juego, incluso tomando en cuenta factores como la hora de juego y el clima.

Gracias a esta ayuda, sumada a su observación detallada, el asesor ha logrado brindar a Del Potro y sus otros clientes información valiosa que puede servir para vencer a un rival.

"Muchos jugadores son previsibles, se pueden estudiar sus patrones repetidos para anticipar lo que harán", detalla.

Un ejemplo concreto es el break point, o punto para el quiebre, el momento cuando un tenista puede superar a su contrincante que está sacando.

"Es común que se repitan jugadas en estos momentos más tensos, algo que puede ser inconsciente", observa Albamonte.

Los análisis que hace este matemático deportivo no sólo buscan anticipar lo que hará el rival, sino que también alertan al jugador sobre sus propias tendencias, para que las pueda cambiar si así lo desea.

Este año, el experto fue contratado por la Federación Colombiana de Tenis como parte de sus preparativos para enfrentar a Canadá por la Copa Davis.

Y también asesora a los jugadores Santiago Giraldo (colombiano, número 31 del mundo) y al argentino Federico Delbonis (60).

Mejores torneos

Pero las matemáticas no sólo sirven para mejorar el rendimiento de los deportistas.

También pueden mejorar la eficiencia de las competencias mismas.

El chileno Leandro Shara es contador y amante del deporte, al igual que Albamonte, pero su obsesión es modelar torneos.

"Los formatos de los torneos son iguales desde la época de Espartaco. Con mi fórmula puede haber más participantes en la misma extensión de tiempo, y son más competitivos", destaca a BBC Mundo.

Shara es el fundador de Match Vision, una empresa que se dedica a asesorar en la organización de competencias deportivas.

En 2010, el experto fue contratado por la Confederación de Fútbol de Norteamérica, Centroamérica y el Caribe (Concacaf) para rediseñar las eliminatorias de cara al Mundial de Brasil 2014.

Hasta ese momento, los equipos con menos experiencia a los que les tocaba en suerte un rival muy superior quedaban relegados de inmediato.

"Si en el sorteo a un país como Jamaica o República Dominicana le tocaba contra un rival muy duro como México, quedaban afuera habiendo jugado sólo un partido de ida y otro de vuelta", explica.

Shara creó un nuevo sistema que dividió a los países en tres categorías: emergentes, medios y fuertes, y eso permitió que todos tuvieran garantizado al menos seis encuentros antes de quedar afuera.

En la práctica, eso significó que las naciones con menos tradición futbolísticas pudieron ampliar su experiencia, dando mayor exposición a sus jugadores y brindando más oportunidades a sus seguidores de verlos en acción.

Grandes desafíos

Además de la Concacaf, Shara ha asesorado a la Unión de Asociaciones de Fútbol Europeas (UEFA), y a las máximas asociaciones del tenis mundial (ATP, WTA e ITF).

Pero su ambición más grande es ser convocado para reformular las dos citas deportivas más importantes del planeta: el Mundial y los Juegos Olímpicos.

Según el especialista, las matemáticas podrían mejorar de manera significativa ambas competencias.

Shara dice tener la fórmula para que en el Mundial puedan participar 36 o 40 países, en el mismo lapso de tiempo que ahora usan los 32 actuales.

Y asegura tener un sistema que pondría fin a la especulación que genera la fase de grupos, donde muchas veces el tercer encuentro se juega según la conveniencia del resultado que busque cada equipo para colocarse mejor en la siguiente ronda.

Por otra parte, el experto afirma haber diseñado una estructura que mejoraría la competencia en las Olimpíadas.

Como ejemplo usa el caso de una compatriota, la jugadora de tenis de mesa Berta Rodríguez, quien representó a Chile en cuatro Juegos Olímpicos consecutivos.

"A pesar de que Berta pasó 12 semanas de su vida en Villas Olímpicas lo cierto es que solo jugó cuatro partidos olímpicos en toda su vida, porque siempre perdió en primera rueda", ejemplificó.

El consultor deportivo propone un sistema que garantizaría más encuentros en el mismo lapso de tiempo.

Además, asegura tener la solución para que el torneo de fútbol en las Olimpíadas se juegue en las tres semanas de competencia y no tenga que empezar antes de la inauguración, como ocurre actualmente.

Ciencia aplicada

Expertos como Shara y Albamonte están convencidos de que la manera de mejorar el deporte no es sólo entrenar el cuerpo sino hacer un mayor uso de la ciencia.

Con el fin de fomentar el vínculo entre estas disciplinas, el argentino fundó el Programa Universitario de la Asociación Argentina de Tenis (AAT).

El programa investiga cómo la ciencia puede mejorar el deporte.

En 2010, la AAT lanzó el Concurso de Investigación en Ciencias Aplicadas al Tenis, en el que participan todos los años personas de todo el mundo.

Un ganador fue un proyecto para crear una silla para el árbitro (que normalmente se sienta en altura) que se puede adaptar a una silla de ruedas, y así permitir que una persona con discapacidad motriz ocupe este rol.

Otro trabajo creó una aplicación para celular que permite recoger estadísticas de jugadores, y es útil para los entrenadores.

Muchos han presentado propuestas que aportan una perspectiva psicológica del tenis, como un análisis de los rasgos obsesivos en jugadores de alto rendimiento.

¿Demasiado análisis?

Hay quienes creen que tantos análisis y estadísticas desvirtúan la naturaleza del deporte.

Después de todo, la intuición y el talento son parte de lo que hace a los deportistas de elite tan únicos, y el azar es uno de los elementos que más enriquece el espectáculo del deporte.

Si el avance de los números continúa, ¿llegará el día en que un encuentro deportivo se torne en algo predecible, y quien gane sea el que mejor estudió a un rival?

Albamonte descarta este escenario.

"Sin lugar a dudas la ciencia y las matemáticas pueden mejorar el rendimiento de un deportista pero nunca van a hacer que un deportista malo se convierta en bueno", asegura.

MÁS FRACTALES...

La famosa curva de Koch, lleva ese nombre en honor al matemático sueco Niels Fabian Helge von Koch. La curva de copo de nieve es prácticamente la primera curva fractal. Se genera a partir del lado del triángulo tratado como un elemento, dividiéndola en tres partes, cada una de las cuales tiene una longitud 1/3 y añadiendo un triángulo en la posición central.

Se puede observar la progresión de la curva de Koch, que es cerrada.

La propiedad curiosa de la curva de Koch es que tiene una área finita, porque siempre permanece dentro de un círculo, pero en cada etapa de su generación aumenta su lonitud. ¡Es una curva que encierra un área finita pero que tiene una circunferencia infinita!

Otro famoso fractal lleva el nombre del matemático polaco Waclaw Sierpinsky. Se halla sustrayendo triángulos de un triángulo equilátero; y continuando éste proceso hallamos el triángulo de Sierpinsky.

La dimensión fraccionaria

Felix Hausdorff tuvo una forma innovadora de contemplar la dimensión. Tiene que ver con la escala. Si una línea se amplía a la escala por un factor de tres será tres veces más larga de lo que era antes. Como este 3 = 3´ se dice que una línea tiene dimensión 1. Si un cuadrado sólico se amplía a escala por un factor de 3, su área será nueve veces su valor anterior ó 3 ,y por consiguiente la dimensión será 2. Si un cubo se amplía a escala por éste factor, su volúmen será 27 ó 3³ veces su valor anterior, de modo que su dimensións será 3. Todos estos valores de la dimensión de Hausdorff coniciden con las expectativas que tenemos para una línea, cuadrado o cubo.

Si la unidad básica de la curva de Koch se amplía a escala por 3 se hace cuatro veces más larga que antes. Siguiendo el esquema descrito, la dimensión de Hausdorff es el valor de D por el cual 4 = 3^D.

La dimensión de Hausdorff isnpiró la definción de fractal que realizó Mandelbrot: un conjunto de puntos cuyo valor de D no es un número entero. La dimensión fraccionaria se convirtió en la propiedad fundamental de los fractales.

Las aplicaciones de los fractales

El potencial para las aplicaciones de los fractales es amplio. Los fractales bien podrían ser el medio matemático que modela objetos naturales tales como el crecimiento de las plantas o la formación de la nubes.

Los fractales ya se han aplicado al crecimiento de organismos marinos, como los corales y las esponjas. Se han demostrado que la extensión de las ciudades modernas tiene una similitud con el crecimiento fractal. En medicina, se han hallado aplicaciones en el modelado de la actividad cerebral.

FRACTALES

En marzo de 1980, el ordenador central, equipado con la tecnología punta de la época, del centro de investigación de IBM de Yorktown Heights, en el estado de Nueva York, enviaba sus instrucciones a un prehistórico dispositivo de impresión tektronix. Éste percutía diligentemente una página blanca imprimiendo puntos en curiosos lugares, y cuando detuvo su repiqueteo el resultado parecía un puñado de polvo difuminado por toda la hoja. Benoit Mandelbrot se frotaba los ojos sin dar crédito a lo que veía. Comprendía que aquello era importante, pero ¿qué era? La imagen que aprecía lentamente ante él era como una copia en blanco y negro que surgía de un baño de revelado fotográfico. Fue un primer vislumbre de esse ícono del mundo de los fractales: el conjunto de Mandelbrot.

Con ayuda de la capacidad de procesamiento informático del ordenador, Mandelbrot se encontró  con las primeras representaciones de lo que él nombró fractales.

Esto eran matemáticas experimentales por excelencia, una aproximación a la materia en la que los matemáticos tenían sus bancos de laboratorio del mismo modo que los físicos y los químicos. Se abrieron nuevas perspectivas, literalmente. Era una liberación respecto a los áridos climas de 'definición, teorema, demostración', si bien es cierto que tendría que producirse un regreso a los rigores de la argumentación racional.

El inconveniente de éste enfoque expermiental era que las imágenes visuales precedían a un apuntalamiento teórico. Los experimentalistas estaban navegando sin un mapa. Aunque Mandelbrot acuñó la palabra 'fractales', ¿qué eran éstos? Al principio, Mandelbrot no quería destruir la magia de la experiencia poniendo a punto una definición clara que pudiera ser insuficiente y limitadora. Pensaba que la idea de un fractal 'como un buen vino, requería añejarse un poco antes de embotellarla'.

El conjunto de Mandelbrot

Mandelbrot y sus colegas no estaban siendo matemáticos especialmente especialmente abstrusos. Estaban jugando con la fórmula más sencilla. Toda la idea se basa en la iteración, la práctica de aplicar una fórmula una y otra vez. La fórmula que generó el conjunto de Mandelbrot era sencillamente X² + c.

Para algunos valores de c en el conjunto de Mandelbrot, la secuencia de zs puede hacer todo tipo de cosas extrañas, como bailar entre varios puntos, pero no se escaparían hacia el infinito. En el conjunto de Mandelbrot vemos otra porpiedad fundamental de los fractales, la de autosimilitud. Si usted hace zoom sobre el conjunto no estará seguro del nivel de amplificación porque no verá sino más conjuntos de Mandelbrot.

Antes de Mandelbrot

Al investigar la historia, Mandelbrot halló que matemáticos como Henri Poincaré y Arthur Cayley ya habían tenido incipientes vislumbres de la idea cien años antes que él. Desgraciadamente, no habían tenido la capacidad informática necesaria para ir más allá en sus investigaciones.

Representación de una curva arrugada, una de las primeras formas de
fractales descubiertas por los matemáticos teóricos.

Entre las formas que descubrió la primera ola de teóricos fractales figuraban las curvas arrugadas y curvas mosntruosas que anteriormente se habían desdechado como ejemplos patológicos de curvas. Como eran tan patológicas, los matemáticos las habían guardado bajo llave en el armario y se les había prestado escasa atención. Lo que se buscaba entonces eran las curvas lisas más normales que se podrían tratar mediante el cálculo diferencial. Cuando los fractales se hicieron populares, otros matemáticos cuyo trabajo se desempolvó fueron Gaston Julia y Pierre Fatou, que trabajaron sobre estructuras parecidas a los fractales en el plano complejo en los años posteriores a la Primera Guerra Mundial.

EL MOVIMIENTO CAÓTICO

La característica del caos es que un sistema determinista puede dar la impresión de generar una conducta aleatoria. Examinemos otro ejemplo, la fórmula repetitiva, o iterativa

A x P (1-P)

donde P representa la población, medida como una proporción en una escala de 0 a 1. El valor de A debe estar comprendido entre 0 y 4 para garantizar que el valor de P permanezca en el rango de 0 a 1.

Vamos a modelar la población cuando A=2. SI escogemos un valor inicial de, por ejemplo, P=0.3 en tiempo igual a cero, para hallar la población en tiempo igual a uno, introducimos P=0.3 en A x P (1-P), lo que nos da 0.42. Usando únicamente una calculadora manual podemos repetir esta operación, ésta vez con P=0.42, lo que nos da la siguiente cifra (0.4872). Avanzando de esta manera, hayamos la población que habrá en tiempos posteriores. En este caso, la población rápidamente se estabiliza en P=0.5. Esta estabilización siempre se da para los valores de A<3.

El movimiento caótico es aquel que no muestra pauta alguna de regularidad, parece ser totalmete aleatorio y es difícil de predecir su comportamiento si se considera como un sistema. Se le conoce como movimiento browniano.

Si ahora escogemos A=3.9, un valor próximo al máximo permisible, y usamos la misma población inicial P=0.3, la población no se estabiliza sino que oscila desenfrenadamente. Esto es porque el valor de A está en la ‘región caótica’, es decir, que A es un número mayor que 3.57. Además, si escogemos una población inicial distinta, P´=0.29 que es un valor próximo a 0.3, el crecimiento de la población sigue de cerca el modelo de crecimiento anterior durante los primeros pasos pero después empieza a divergir completamente de él. Éste es el comportamiento que experimentó Edward Lorenz.

Pronóstico del tiempo

Incluso con ordenadores muy potentes, todos sabemos que no podemos hacer pronósticos meteorológicos con más de unos pocos días de antelación. Las ecuaciones que gobiernan el tiempo son no lineales: implican las variables multiplicadas entre sí, no solo las propias variables.

El ingeniero francés Claude Navier en 1821 y el físico y matemático británico George Gabriel Stokes en 1845 elaboraron de forma independiente la teoría que hay detrás de las matemáticas de los pronósticos meteorológicos. Las ecuaciones Navier-Stokes que se obtuvieron tienen un enorme interés para los científicos.

Las ecuaciones Navier-Stokes son un ejemplo de sistema  no lineal de ecuaciones, pues como puede observarse, hay variables en ellos que se multiplican entre sí, y eso las hace muy complejas, incluso para ser resuletas por nuestros más potentes ordenadores. ¿Complejo, no?

Aunque se sabe mucho sobre la teoría de los sistemas lineales de ecuaciones, las ecuaciones Navier-Stokes contienen términos no lineales que las hacen insolubles. Prácticamente, la única forma de resolverlas es hacerlo numéricamente usando potentes ordenadores.

Atractores extraños

El famoso atractor de Lorenz, con dos puntos de acumulación (atractores).

Puede pensarse en los sistemas dinámicos como si poseyeran ‘atractores’ en sus diagramas de fases. En el caso del péndulo simple el atractor es el punto individual del origen hacia el cual se dirige el movimiento. Con el péndulo doble es más complicado, pero incluso en este caso la representación del a fase mostrará cierta regularidad y se verá atraída hacia un conjunto de puntos en el diagrama de fases. En el caso de sistemas como éste, es posible que el conjunto de puntos forme un fractal que se denomina un ‘atractor extraño’, y que tendrá una estructura matemática clara.

UN SIMPLE PÉNDULO

En continuidad a la publicación relativa al caos, me he encontrado con éstas curiosidades sobre el péndulo:

El péndulo libre es uno de los sistemas mecánicos más simples que se puedan realizar. A medida que el péndulo gira de un lado a otro, va gradualmente perdiendo energía. El desplazamiento desde la vertical y la velocidad (angular) de la pesa disminuyen hasta que ésta queda finalmente detenida.

En el punto más alto, el péndulo pierde toda su
velocidad (energía cinética) y la energía potencial
(su peso, posición) es máximo.

El movimiento de la pesa se puede representar en un diagrama de fases. En el eje horizontal se mide el desplazamiento (angular) y en el vertical se mide la velocidad. El punto desde el que se suelta se representa como el punto A en el eje horizontal positivo. En A, el desplazamiento está en su nivel máximo y la velocidad es cero. A medida que la pesa se mueve a través del eje vertical (donde el desplazamiento es cero) la velocidad está en su nivel máximo, y esto se representa en el diagrama de fases como B. En C, cuando la pesa está en el otro extremo de su oscilación, el desplazamiento es negativo y la velocidad es cero. La pesa vuelve a oscilar entonces a través de D (donde se está moviendo en la dirección contraria, de modo que su velocidad es negativa) y completa una oscilación en E. En el diagrama de fases esto representa mediante una rotación a través de 360°, pero como la oscilación se reduce en el punto E se muestra dentro de A. Como el péndulo cada vez oscila menos, ésta representación de fases gira en espiral hacia el origen hasta que finalmente el péndulo queda en reposo.

La evolución de un sistema pendular forma un espiral desde su estado inicial hasta el estado final en que el péndulo se detiene y deja de oscilar.

No sucede lo mismo en el caso del péndulo doble, en el que la pesa se haya en el extremo de un par de varas articulado. Si el desplazamiento es pequeño, el movimiento del péndulo doble es similar al del péndulo simple, pero si el desplazamiento es grande la pesa oscila, gira y da bandazos, y el desplazamiento que se produce en torno a la articulación intermedia es aparentemente aleatorio. Si no se fuerza el movimiento, la pesa también acabará quedando en reposo, pero la curva que describe su movimiento dista mucho de ser la disciplinada espiral del péndulo sencillo.

MATEMÁTICAS Y EDUCACIÓN FÍSICA

Toda la vida ha sido argumentado por el profesorado de matemáticas que éstas tienen relación con todas las asignaturas y áreas del conocimiento. Incluso, cada vez que en enseñanza media y media superior se inician cursos de filosofía, historia, física, química, biología, entre otras, se realiza un listado de las ciencias, áreas del conocimiento o asignaturas que se relacionan o ayudan a la materia en cuestión; y adivinen... ¡siempre figuran las matemáticas! Y es cierto, de la forma más simple, pues todas usan alguna forma de conteo, operaciones o incluso en la parte didáctica y metodológica (como la evaluación) siempre conllevan una parte cuantitativa.

Las matemáticas en su forma clásica de enseñanza: un cúmulo de conocimiento tan antiguo como la humanidad.

Si miramos un poco más de cerca, son más la que usan a las matemáticas que las que contribuyen con ellas, y su relación no es tan profunda. Sin embargo, hay una de las asignaturas del currículo de la Educación Básica que tiene una profunda relación con las matemáticas, y si bien no tiene como deber enseñar las operaciones básicas, si contribuye al desarrollo cognitivo, social y motriz necesario para poder aprender de matemáticas: la Educación Física.

Se preguntará usted ¿Cómo es que la educación física se relaciona con las matemáticas? Y más aun ¿Cómo es que se relaciona más profundamente con ellas que otras asignaturas?

La respuesta a esto es algo enredosa y llena de términos complejos; sin embargo, lo podemos resumir así:

- A diferencia de asignaturas como la física, biología o química que usan a las matemáticas o sus modelos y estructuras, la educación física contribuye, ayuda a las matemáticas directamente en el desarrollo de cada individuo.

- La educación física a través de su metodología vivencial y experimental, incide directamente sobre las capacidades cognitivas, sociales y motrices de los alumnos, permitiéndoles aumentar su potencial, motivación, atención y sobre todo, potenciando sus habilidades desde el origen: los procesos mentales.

- A diferencia de momentos como el receso, tiempo libre y de ocio de los alumnos, en la clase de educación física el educacdor físico busca un objetivo específico y lleva a los alumnos a través de actividades lúdicas con implicaciones eminentemente motrices a estructurar sus pensamientos, estimular sus habilidades sociales, motrices y ,para lo que nos interesa, mentales; reflexionar sobre sus acciones lo que conlleva a adquiri patrones o hábitos en su actuar y en su pensar, que a su vez se traduce en un aprendizaje más estructurado y significativo, sobre todo en el caso de las matemáticas contando con bases sólidas para edificar las competencias referidas a las habilidades matemáticas.

La clase de educación física con un montón de materiales y retos para los alumnos, antagónico a la clase de matemáticas y sin embargo, tan ligado a ellas...

Hablando más específicamente, en la educación física durante la enseñanza básica contempla el bloque de contenidos psicomotrices, donde destacan la percepción y estructuración espacio-temporal, la ubicación y orientación, la lateralidad y la coordinación. Estos contenidos específicos de la educación física derivan de la psicología y los procesos mentales básicos; a su vez, su consolidación y estimulación favorecen a las habilidades matemáticas, que se enuncian en forma de verbos, a través de las diferentes estrategias como el juego y el deporte: identificar, algoritmizar (ordenar, secuenciar), comparar, resolver, aproximar, etc.

En éste diagrama de jerarquía, se muestra cómo las habilidades matemáticas se cimentan y edifican sobre los procesos psicológicos básicos que están ligados directamente a los contenidos de la Educación Física.

Un ejemplo muy sencillo: en el juego tan conocido del "Stop", que cabe dentro de la educación física como un juego tradicional, se implementa la metodología de resolución de problemas y se incide la habilidad matemática de comparar y de aproximar, pues una vez que todos corren del círculo y se detienen al escuchar "stop", quien ha quedado debe evaluar la situación y comparar las distancias que hay hacia sus compañeros, compara y elige; luego, aproxima la cantidad de pasos (unidad de medida), ya sea cortos, normales o largos y debe ejecutar, comprobando su éxito o fracaso.

EL PROBLEMA DEL CUMPLEAÑOS

Imagine que usted está en piso superior de un doubledecker (autobús de doble piso) y que no tiene nada especial que hacer aparte de contar a los demás pasajeros que se dirigen al trabajo a primera hora de la mañana. Como es probable que todos los pasajeros sean independientes entre sí, podemos suponer sin temor a equivocarnos que las fechas de sus cumpleaños estarán desperdigadas al azar a lo largo de todo el año. Incluyéndole a usted, solo hay 23 pasajeros a bordo. No es mucho, pero basta para afirmar que la probabilidad de que dos pasajeros compartan la misma fecha de cumpleaños no es igual que la de que no haya dos que la compartan, sino mayor que ella. ¿Lo cree usted? Hay millones de personas que no, pero es totalmente cierto. Incluso a un experto con gran experiencia en el ámbito de la probabilidad, William Feller, esto le parecía asombroso.

¿Cuántas personas deben congregarse en una sala para que sea cierto que dos personas compartan la misma fecha de cumpleaños? Hay 365 días en un año normal (e ignoremos los años bisiestos solo para simplificar las cosas), de modo que si hubiera 366 personas en la sala al menos un par de ellas tendrían la misma fecha de cumpleaños, categóricamente. No puede darse el caso de que todas ellas tengan fechas de cumpleaños distintas.

Es el principio del palomar: si hay n+1 palomas que ocupan n palomares, un palomar tiene que contener más de 1 paloma. Si hubiera 365 personas no podríamos estar seguros de que habría una fecha de cumpleaños en común porque todos los cumpleaños podrían ser en fechas distintas del año. Sin embargo, si se coge a 365 personas al azar esto sería sumamente improbable y la probabilidad de que 2 personas no compartieran una fecha de cumpleaños sería minúscula. Aun cuando sólo haya 50 personas en la sala hay una probabilidad del 96.5% de que dos personas compartan una fecha de cumpleaños.

Si se reduce aún más el número de personas, se reduce la probabilidad de que dos personas compartan una fecha de cumpleaños. Hallamos que 23 personas es el número para el cual la probabilidad es a penas mayor que ½ y que para 22 personas la probabilidad de que se comparta una fecha de cumpleaños es apenas menor que 1/2. El número de 23 es el valor crítico. Aunque la respuesta al problema clásico del cumpleaños es sorprendente, no es una paradoja.

¿Podemos demostrarlo?

Escojamos una persona al azar. La probabilidad de que otra persona tenga la misma fecha de cumpleaños es 1/365 y por consiguiente la probabilidad de que estas dos personas no compartan la misma fecha de cumpleaños es de uno menos esto (o 364/365). La probabilidad de que otra persona escogida al azar comparta su fecha de cumpleaños con alguna de las dos primeras es de 2/365, de modo que la probabilidad de que esta persona no comparta su fecha de cumpleaños con ninguna de las dos primeras es de uno menos esto (o 363/365). La probabilidad de que ninguna de estas tres personas comparta su fecha de cumpleaños es la multiplicación de estas dos probabilidades, o (364/365) x (363/365), que es 0.9918.

Si continuamos esta línea de pensamiento en los casos de 4, 5,6… personas, la paradoja de problema del cumpleaños queda aclarada. Cuando llegamos a las 23 personas con nuestra calculadora de bolsillo obtenemos la solución 0.4927 como la probabilidad de que ninguna de ellas comparta la misma fecha de cumpleaños. La negación de que “ninguna de ellas comparte una misma fecha de cumpleaños” es que “al menos dos personas comparten un cumpleaños” y la probabilidad de esto es 1 – 0.4927 = 0.5073, apenas mayor que el crucial ½.

El índice de embarazos de mellizos es de 3.2 por cada 100 actualmente, mientras el de gemelos idénticos es de 1 cada 250. En ambos casos, son personas con la misma fecha de cumpleaños, excepto los que nazcan justo a medianoche, uno en los últimos minutos de un día y otro en los primeros del día siguiente. ¿Cuál es la relación con la probabilidad del problema del cumpleaños?

Si n = 22, la probabilidad de que dos personas compartan una misma fecha de cumpleaños es 0.4757, que es menos que 1/2,- La naturaleza aparentemente paradójica del problema del cumpleaños está estrechamente vinculada al lenguaje. El resultado del cumpleaños constituye una afirmación sobre dos personas que comparten una fecha de cumpleaños, pero no nos dice que dos personas son. No sabemos a quienes corresponderán las coincidencias. Si el señor Trevor Thomson, cuyo cumpleaños es el 8 de marzo, esta en la sala, podríamos hacer otra pregunta distinta.

¿Cuántos cumpleaños coinciden con los del señor Thomson?

Para esta pregunta, el cálculo es distinto. La probabilidad de que el señor Thomson no comparta su fecha de cumpleaños con otra persona es de 364/356, de modo que la probabilidad de que no comparta su fecha de cumpleaños con cualquiera de las otras n – 1 personas de las sala es de (364/365) n-1.  Por consiguiente la probabilidad de que el señor Thomson comparta su fecha de cumpleaños con alguien será de 1- este valor.

Si calculamos esto en el caso de n = 23 esta probabilidad es de solamente 0.061151, de modo que solo hay una probabilidad del 6% de que el cumpleaños de otra persona sea el 8 de marzo. Si aumentaos el valor de n esta probabilidad aumentara. Pero tenemos que llegar hasta n = 254 (incluyendo al señor Thomson en la cuenta) para que la probabilidad sea mayor que ½. En el caso de n = 254, su valor es 0.5005. Este es el punto de separación, porque n = 253 dará el valor 0.4991, que es menos que ½. Tendrá que producirse una reunión de 254 personas en la sala para que haya una probabilidad mayor que1/2 de que el señor Thomson comparta su fecha de cumpleaños con alguien más. Esto esta quizá más en sintonía con nuestra intuición que con la sorprendente solución del problema del cumpleaños clásico.

EL EFECTO MARIPOSA

El efecto mariposa demuestra cómo unas condiciones iniciales ligeramente distintas a las dadas pueden producir un resultado real muy distinto al de las predicciones. Si se predice buen tiempo para un día en Europa, pero una mariposa bate sus alas en América del Sur, esto en realidad podría ser un presagio de tormentas al otro lado del mundo, porque el batir de las alas cambia la presión atmosférica muy ligeramente, provocando un patrón climático totalmente diferente al que se ha pronosticado en un principio.

El efecto mariposa postula que fenómenos que parecen ser insignificantes como el aleteo del vuelo de una mariposa en el patio de nuestra casa, pueden provocar efectos inmensos como la formación de una tormenta o el cambio de clima en el otro lado del planeta.

Podemos demostrar la idea con un sencillo experimento mecánico. Si usted deja caer una bola de hacer a través de la abertura de la parte superior de una caja en la que se hayan calvado alfileres que obstruyan el camino de rodamiento, esta avanzará hacia abajo,  desviándose una forma u otra por los distintos alfileres que se encuentran en su camino hasta que llega a una ranura final en la parte inferior. Usted podría entonces intentar soltar otra bola idéntica desde exactamente la misma posición a exactamente la misma velocidad. Si usted pudiera hacer esto exactamente, el marqués de Laplace estaría en lo cierto y la trayectoria recorrida por la bola sería exactamente la misma. Si la primera bola cayera en la tercera hendidura por la derecha, también lo haría la segunda bola.

Pero, claro, usted no puede soltar la bola desde exactamente la misma posición a exactamente la misma velocidad y exactamente con la misma fuerza. En realidad, habrá una muy ligera diferencia que es posible que usted no pueda ni siquiera medir. El resultado es que puede que la bola tome una ruta muy distinta hacia el fondo y probablemente acabe en una ranura diferente.

El efecto mariposa adquirió popularidad en 2004 al ser el título de una película protagonizada por el actor juvenil Ashton Kutcher; en ella se deja entrever una parte del principio físico, aunque algo hollywoodizado.

EL CAOS

¿Cómo es posible que tengamos una teoría del caos? El caos se da en la ausencia de la teoría,  ¿no es cierto? La historia se remonta a 1812, mientras Napoleón avanzaba sobre Moscú, su compatriota el marqués Pierre-Simon de Laplace publicó un ensayo sobre el universo determinista: si en un instante determinado se conocieran las posiciones y las velocidades de todos los objetos del universo, y las fuerzas que actúan sobre ellos, éstas cantidades se podrían calcular con exactitud para todos los momentos futuros. El universo y todos los objetos que hay en él quedarían totalmente determinados. La teoría del caos nos enseña que el mundo es más intrincado que lo que propone esa visión.

Asociamos el caos a la falta de orden, el desastre, lo inconmprensible y desconcertante.

En el mundo real no podemos conocer todas las posiciones, velocidades y fuerzas con exactitud, pero el corolario de la creencia de Laplace era que si conociéramos los valores aproximados en un momento, el universo no sería muy distinto en cualquier caso. Esto era razonable, ya que, sin duda, unos velocistas que arrancaran una décima de segundo después del disparo de la pistola romperían la cinta sólo una décima de segundo después de su tiempo normal. La creencia era que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales suponían pequeñas diferencias en los resultados. La teoría del caos refutó esta idea.

Lo contrario a la teoría del caos es el determinismo. En un sistema determinista, todas las variables de sus componentes son conocidas y por ende, todas sus interacciones y evolución del mismo; éste no es el caso de nuestro universo,,, ¡Interesante, no!

Así, el caos es parte de nuestra realidad; es decir, todo lo que percibimos de nuestro mundo, incluso todo aquello que está ahí y lo que no podemos percibir ni tocar y que consideramos es regular, incluso inmutable a través del tiempo como el orden de las estrellas en el cielo y la estructura molecular de el sólido más duro es resultado, en cierta medida, del caos.

En física, se tienen medidas para todo. Sorpresivamente, tambien se tiene una medida del caos. ¡Sí, del caos! Ésta es la entropía. La entropía mide la tendencia de un sistema hacia el caos, es decir, qué tan rápida es la progresión de un sistema en el tiempo hacia el caos, pues todo, absolutamente todo sistema tiene ésta propiedad entrópica y tiene al caos.

Un ejemplo claro de la entropía y el caos es el tráfico generado en un cruce de vialidades urbanas. Variables como la cantidad de automóviles, su destino, dimensiones y las dimensiones de la vialidad (espacio para transitar/maniobrar) determinan la medida de entropía del sistema; es éste caso, una glorieta.

Así que, entre la entropía y la mecánica cuántica, siempre existe la posiblidad de que nuestro cuerpo se desintegre en todas las moléculas elementales que lo forman y se reconstruya en un lugar completamente distinto, a miles o millones de años luz de distancia, o en la lujosa casa de nuestro artista favorito (suponiendo que sea rico, jaja)...

NÚMEROS PERFECTOS IMPARES Y NÚMEROS DE MERSENNE

Trabajos de construcción

Una combinación del trabajo de Euclides y el de Euler proporciona una fórmula que permite generar números perfectos pares: n es un número perfecto par sí y solamente si n = 2^p-1(2^p-1) donde 2^p-1 es un primo de Mersenne.

Por ejemplo,  6 = 2¹(2²-1), 28 = 2²(2³-1) y 496 = 2⁴(2⁵-1). Esta fórmula para calcular números perfectos pares significa que podemos generarlos si podemos hallar los primos de Mersenne. Los números perfectos han supuesto un reto tanto para las personas como para las máquinas y continuarán haciéndolo de una manera que no habían previsto los matemáticos del pasado.

En la imagen se puede observar la sucesión de los primeros números primos de Mersenne.

El creador de tablas Peter Barlow, escribiendo a comienzos del siglo XIX, creía que nadie iría más allá del cálculo del número perfecto de Euler 2³⁰(2³¹-1) = 2,305,843,008,139,952,128 porque no tenía mucho sentido hacerlo. No podía prever la potencia de los ordenadores modernos y la insaciable necesidad de los matemáticos enfrentarse a nuevos desafíos.

Números perfectos impares

Nadie sabe si se hallará alguna vez un número perfecto impar. Descartes pensaba que no, pero los expertos pueden equivocarse. El matemático inglés James Joseph Sylvester declaró que la existencia de un número perfecto impar “sería poco menos que un milagro” por las muchas condiciones que éste tendría que cumplir. Es uno de los programas antiguos de las matemáticas, pero, si de veras existe un número perfecto impar, ya se sabe mucho sobre el punto necesitaría tener por lo -8 divisores primos distintos, uno de los cuales mayor de 1 millón, y al mismo tiempo tendrá que tener como mínimo 300 dígitos.

Se desconoce si existen infinitos números perfectos, igual que los números perfectos impares; se trata probablemente del problema irresuelto más antiguo de las matemáticas.

LOS NÚMEROS DE MERSENNE

La clave para construir números perfectos es un grupo de números que elevan el nombre del padre Marín Mersenne. Los números de Mersenne se construyen a partir de las potencia de dos, los números que se van doblando 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256... Y a los que después se sustrae un solo 1. 

Un número de Mersenne es un número que tiene la forma 2ⁿ-1. Aunque siempre son impares, no siempre son primos. Pero son aquellos números de Mersenne que también son primos los que se pueden usar para construir números perfectos.

Éstos números fueron propuestos por Marin Mersenne.

Mersenne sabía que si la potencia no era un número primo, el número de Mersenne tampoco podía ser un número primo, lo que da cuenta de las potencias no primas 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 y 15 de la tabla. Los números de Mersenne sólo podían ser primos si la potencia era un número primo, pero ¿basta con eso? Para los primeros casos, obtenemos 3, 7, 31 y 127, todos los cuales son primos. De modo que, ¿es generalmente cierto que un número de Mersenne tendría que ser también primo?

Potencia	Resultado	Se resta (Número de Mersenne)	¿Número primo?
2	4	3	Primo
3	8	7	Primo
4	16	15	No primo
5	32	31	Primo
6	64	63	No primo
7	128	127	Primo
8	256	255	No primo
9	512	511	No primo
10	1,024	1,023	No primo
11	2,048	2,047	No primo
12	4,096	4,095	No primo
13	8,192	8,191	Primo
14	16,384	16,383	No primo
15	32,768	32,767	No primo

Muchos matemáticos del mundo antiguo pensaban que así era pero los primos no están constreñidos por la simplicidad, y se descubrió que, en el caso de la potencia 11 (un número primo), 2¹¹ – 1 = 2,047 = 23 x 89 y por consiguiente no es un número primo. Parece que no hay ninguna regla. Los números de Mersenne 2¹⁷ – 1 y 2¹⁹ – 1 son ambos, primos, pero 2²³ – 1 no es primo, porque 2²³ – 1 = 8,388,607 = 47 x 178,481.