HISTORIA DEL CALCULO DE PI

        Nos encontramos con el número π cuando dividimos la longitud de una circunferencia entre su diámetro. Podemos hallar una aproximación con cualquier objeto redondo como, por ejemplo, un bote de conservas. Para llevar a cabo el experimento he buscado uno en mi despensa y lo he medido. He obtenido para la longitud de la circunferencia 26'7 cm, y para el diámetro 8'5 cm.

        Al dividir la longitud (26'7) entre el diámetro (8'5) se obtiene 3'141176... (que está muy cerca del valor teórico). Los objetos redondos (ruedas, recipientes...) fueron utilizados por el hombre desde muy antiguo. En algún momento debieron darse cuenta de que ese "tres y un poco" era fundamental para calcular las longitudes, áreas y volúmenes de los cuerpos redondos.

        Los antiguos egipcios (hacia 1600 a. de C.) ya sabían que existía una relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro; y entre el área del círculo y el diámetro al cuadrado (seguramente de forma intuitiva). En el Papiro de Rhind puede leerse lo siguiente: "Corta 1/9 del diámetro y construye un cuadrado sobre la longitud restante. Este cuadrado tiene el mismo área que el circulo". Es decir, el área del círculo (llamémosla A) es igual a 8/9 del diámetro al cuadrado (d=2r), A = d²*64/81 = 4r²*64/81 = r²*256/81. Esto equivale a decir que asignaban a π el valor 256/81, aproximadamente 3'16.

 En Mesopotamia, más o menos por la misma época, los babilonios utilizaban el valor 3'125 (3+1/8) según puede leerse en la Tablilla de Susa.

Los geómetras de la Grecia clásica sabían que la razón entre la longitud de una circunferencia cualquiera y su diámetro es siempre una constante (el número al que ahora llamamos pi). También conocían y habían conseguido demostrar que tanto la razón entre el área de un círculo y su diámetro al cuadrado, como la del volumen de una esfera y el cubo de su diámetro eran constantes (desconocidas en aquel momento, libro XII de "Los Elementos" de Euclides). Fue Arquímedes (siglo III a. de C.) quien determinó que estas constantes estaban estrechamente relacionadas con π. Además, utilizó el método de exhaución, inscribiendo y circunscribiendo en una circunferencia polígonos de hasta 96 lados y consiguiendo una magnífica aproximación (si tenemos en cuenta los medios con los que contaba), 3+10/71 < π < 3+1/7; es decir, el número buscado está entre 3'1407 y 3'1428.

 En el siglo II d. de C., Ptolomeo utiliza polígonos de hasta 720 lados y una circunferencia de 60 unidades de radio para  aproximarse un poco más, y da el valor 3 + 8/60 + 30/3600 = 377/120 =3'14166

En China también se hicieron esfuerzos para calcular su valor. Liu Hui en el siglo III, utiliza polígonos de hasta 3072 lados para conseguir el valor de 3'14159, y Tsu Ch'ung Chi en el siglo V da como valor aproximado 355/113 = 3'1415929

 De la India nos han llegado unos documentos llamados Siddhantas, que datan del 380 d. de C. Son unos sistemas astronómicos en los que se da a π el valor 3 + 177/1250, que es exactamente 3'1416. A caballo entre los siglos V y VI vive un importante matemático, Aryabhata, que en su libro Aryabhatiya da una regla de la que obtenemos ese mismo valor: "Suma 4 a 100, multiplica por 8 y súmale 62.000. El resultado te da aproximadamente la circunferencia de un círculo cuyo diámetro es 20.000". Muchos años después, hacia el 1400, otro matemático hindú, Madhava descubre los desarrollos en serie del seno, coseno y arco tangente, y consigue calcular 11 cifras decimales sumando 21 términos de la serie que, más de doscientos años después, redescubriría Gregory.

 En el siglo IX, Al-Khwarizmi hace notar en su tratado de álgebra que: "el hombre práctico usa 22/7 como valor de π, el geómetra usa 3, y el astrónomo 3,1416."

En 1429, Al-Khasi sigue utilizando el método de Arquímedes y trabaja con polígonos de hasta 805.306.368 lados (3·2²⁸) para obtener el valor 3'14159265358979 (14 cifras). En el siglo XVI, el matemático francés Vieta usó polígonos de hasta 393.216 (3·2¹⁷) lados para aproximarse hasta 3'141592653 (9 cifras).

Pero el mayor logro conseguido con este método se debe al matemático alemán, residente en Holanda, Ludolf van Ceulen (1540-1610), que trabajó en el cálculo de π casi hasta el día de su muerte. Llegó a trabajar con polígonos de 4₃611.686₂018.427₁387.904 lados (2⁶²) consiguiendo una aproximación de 35 cifras decimales. Su deseo fue que, después de su muerte, se grabará sobre su lápida el número con los 35 decimales calculados.

El siguiente avance teórico se debe a dos holandeses. Willebrod Snell (1580-1626) consigue demostrar  que el arco x está comprendido entre 3*sen(x)/(2+cos(x))  y  1/3*(2*sen(x)+tan(x)). Christian Huyghens (1629-1695), cuya obra ha sido calificada como modelo de razonamiento geométrico, propone que el arco x puede aproximarse por la expresión (sen²(x)*tan x)^1/3 . Con su método, Snell obtuvo 34 decimales exactos, partiendo del cuadrado y doblando 28 veces el número de lados. Como ejemplo tomemos x = π/16, y las fórmulas de Snell multiplicadas por 16 nos dan unos valores de 3.141566592 y 3.141697707 respectivamente, lo que da una idea de lo próximos que están a π.