Aritmética 1 ( 8º parte)

Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo
Los matemáticos de la Grecia Antigua eran muy estudiosos de las propiedades de los números, especialmente de lo que tenía que ver con su divisibilidad. De acuerdo a una leyenda, alguien le preguntó al gran sabio Pitágoras : "¿Qué es un amigo?". Pitágoras respondió: "Aquello que es mi otro ser". Ante la extrañeza de su interlocutor, agregó: "aquello que es mi otro ser, como lo es 220 a 284". Se refería Pitágoras a la pareja más pequeña de números amigos, que comparten el fuerte nexo relativo a sus divisores mencionado al comienzo de esta página. Los divisores de 220 son: 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110. Si se suman estos divisores, se obtiene 284. Por otra parte, los divisores de 284 son:1,2,4,71,142. La suma de todos estos números es igual a 220.

La tarea de encontrar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo entre varios números naturales dados es realizada con frecuencia de una manera muy efectiva, con el uso de una "receta" que se memoriza sin entender muy bien qué es lo que se hace y por qué se hace. En lo que sigue, se explicará el sentido de las operaciones que se realizan en la aplicación de las ya conocidas "recetas".

Si has encontrado los divisores comunes en cada caso, estás en el buen camino para comprender lo que sigue.
Si no, es importante descubrir la causa de tus errores. Si fue un descuido, es necesario aprender a concentrarse mejor. Si alguna idea no fue bien entendida, éste es el momento de aclararla para asimilar con facilidad lo que se muestra a continuación.
Como la cantidad de divisores que tiene cualquier número es finita, cuando se consideran los divisores comunes de un grupo de números, siempre hay uno de estos divisores que es mayor que todos los demás. Este número es llamado el máximo común divisor del grupo de números considerado. 

Ejemplo: Para encontrar el máximo común divisor de los números 20, 24, 16, se determinan primero todos sus divisores:

Los de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20  Los de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24  Los de 16: 1, 2, 4, 8, 16 Los divisores comunes son: 1, 2, 4  El mayor de estos 3 números es 4, y por lo tanto el máximo común divisor de 20, 24 y 16 es 4, y se escribe así: M.C.D.(20,24,16)= 4.  Para reflexionar:  El máximo común divisor de 6 y 30 es 6. Esto podemos saberlo sin necesidad de encontrar todos los divisores de 30 y de 6. Explica por qué.  Factores primos de un número Cuando se habla de una multiplicación de números, por ejemplo: 7 x 4 x 3, se dice que los números 7, 4 y 3 son los factores en esa multiplicación.  Todo número natural se puede expresar como una multiplicación de factores, todos primos. Por  ejemplo: El proceso de escribir un número como producto de factores primos se llama descomposición en factores primos del número en cuestión.  Se podría también escribir :    Pero en este caso los factores no son primos.  Si un número no es primo, hay varias maneras de descomponerlo en producto de otros números, pero sólo una manera de descomponerlo en factores primos.  La manera más fácil y segura de obtener todos los divisores de un número cualquiera es la siguiente:       1.- Se comienza por encontrar la descomposición del número en factores primos. Por ejemplo, para hallar los divisores de 36, se busca su descomposición en factores primos, dividiendo sucesivamente entre 2, 3, 5 y todos los números primos que sean necesarios hasta llegar a la unidad como cociente: La descomposición en factores primos es:       2.-Los divisores de 36 son, además del 1 y del 36, todos los números que se obtienen al multiplicar los factores primos entre sí.  Una vez que se ha determinado la descomposición en factores primos de dos o más números, encontrar el máximo común divisor (MCD) entre ellos es muy sencillo. Sólo hay que encontrar el mayor de todos los divisores comunes a los números en cuestión. Por ejemplo:  Si se quiere hallar el M.C.D. entre 28 y 32, se descomponen estos números en factores primos: Es importante, aún cuando se aprende un proceso mecánico que permite resolver un problema determinado, comprender las razones por las cuales ese proceso conduce a la solución del problema. Así, si la memoria fallara y se olvidara algún paso ó etapa del procedimiento, es posible, usando el razonamiento, reconstruir el proceso total y lograr obtener la solución de todas maneras.  También puede ayudar en muchos casos el comprender por qué se hace lo que se hace, para ahorrar trabajo innecesario. Por ejemplo: si se quiere calcular el M.C.D. de 8 y 32 , y se observa que 8 es divisor de 32, (pues 8.4=32) entonces se concluye que 8 = M.C.D. (8,32) porque 8 es el mayor divisor de 8.  Como además 8 divide a 32, 8 es un divisor de ambos números, y no hay otro número mayor que 8 que los divida a ambos.  Mucho más largo e innecesario resultaría realizar todo el procedimiento de descomponer en factores primos para luego encontrar el M.C.D.(8,32).  Mínimo Común Múltiplo Se ha visto ya que todo número natural tiene una infinidad de múltiplos. De todos ellos, el mínimo múltiplo es el mismo número. Por ejemplo, si se trata del 3, sus múltiplos son : 3, 6, 9, 12, 15, etc. El menor de todos es, por supuesto, 3. Así también, el menor de todos los múltiplos de cualquier número natural es él mismo.  Dados dos números naturales, el producto de ellos es otro número que es múltiplo de ambos. Así, siempre habrá un número natural que sea múltiplo de otros dos a la vez. Por ejemplo:  Ejemplo 1  Se toman el 5 y el 7. El número35 es múltiplo de 7 y de 5 pues:   . Ejemplo 2 En el caso de 6 y 2, también 12es múltiplo de 6 y de 2 En estos casos se dice que: 35 es un múltiplo común de 7 y 5. También 12 es un múltiplo común de 6 y 2.  En el ejemplo 1, ningún número menor que 35 es múltiplo de 7 y de 5 a la vez.  En el ejemplo 2, sí existe un número menor que 12, el 6, que es múltiplo de sí mismo y también es múltiplo de 2, y se tiene entonces que el 6 también es un múltiplo común de 2 y 6.  Pero no existe ningún número menor que 6 que sea múltiplo de 2 y de 6 a la vez. Se dice entonces que el 6 es el mínimo común múltiplo de 2 y 6, y el mínimo común múltiplo de 5 y 7 es 35, abreviándose así:  m.c.m. (5,7) = 35, m.c.m. (2,6) = 6 Como se dijo antes, al multiplicar dos números entre sí se obtiene otro número que es múltiplo de ambos, pero ya se vio, en el caso de 2 y 6, que 12 no es el mínimo de los múltiplos que tienen en común 2 y 6.  En cambio, en el caso de 5 y 7, resulta que 35 sí es el mínimo común múltiplo de ellos.  ¿Cuál es la diferencia entre estos dos casos?  La diferencia se observa cuando se descomponen los números en sus factores primos: 2 = 2        5 = 5 6 = 3 x 2    7 = 7 El 2 y el 6 tienen un factor común, y 5 y 7 no lo tienen.  Al multiplicar   se está repitiendo el factor 2, porque aparece como factor de 6 y como factor de 2.  Al multiplicar   , no se repite ningún factor.  Si se toman los tres factores de 6 y 2, es decir: 3, 2 y 2, y luego se omite uno de los que se repite, al multiplicarlos, se obtiene: Este número sí es el m.c.m. Entre 2 y 6, como se vio antes. como resolver en problemas