Aritmética 1 ( 9º parte)

Operaciones con números enteros

Operaciones con números enteros, suma, resta, multiplicación y división de números enteros. Aplicación de la regla de los signos

Números enteros y valor absoluto

El conjunto de los números enteros lo forman los enteros positivos, enteros negativos y el  cero . Los signos + y - que llevan los números enteros no son signos de operaciones (suma, resta), sino que indican simplemente la cualidad de ser positivos o negativos.

Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que resulta de prescindir del signo. Se expresa encerrando este número entre dos barras.

Operaciones con números enteros

Suma de números enteros

Cuando los números enteros tienen el mismo signo: se suman los valores y se deja el signo que tengan, si son positivos signo positivo y si son negativos signo negativo. Si no se pone nada delante del número se entiende que es +.

Ejemplos números enteros del mismo signo

    (+5) + (+4) = +9   es lo mismo que: 5 + 4 = 9

    (- 5) + (- 4) = - 9   es lo mismo que: - 5 - 4 = - 9

Cuando los números enteros tienen distinto signo: se restan sus valores absolutos y se pone el signo del sumando de mayor valor absoluto. (Se restan y se deja el signo del más grande en valor absoluto).

Ejemplos números enteros de distinto signo

    (+20) + (-10) = 20 -10 = +10   ( 20 -10 =10, el más grande es +20, se pone +10)

    (- 8) + (+3) = - 8 + 3 = - 5   (8 - 3 = 5, el más grande es el - 8, se pone -5)

    (+11) + (- 2) = 11 - 2 = + 9   (11 - 2 = 9, el más grande es el 11, se pone +9)

Ejercicios resueltos de sumar números enteros

Producto y Cociente de números enteros: regla de los signos

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y se aplica la regla de los signos. Cuando van dos signos seguidos hay que separarlos utilizando paréntesis.

-    (+8) . (+3) = + 24

-    (-3) . (-2) = + 6

-    (+4) . ( -1) = - 4

-     (-2) . (+4) = - 8

Para dividir dos números enteros se divide el dividendo entre el divisor y se aplica la regla de los signos. Una división es exacta cuando el resto es 0.

-     (-15) : (-15) = +1

-     8 : 4 = +2

-     - 4 : (-2) = +2

-     10 : 2 = +5

-     10 : (-2) = - 5

-     (-8) : 4 = - 2

-     24 : (-4) = - 6

-     - 6 : 3 = - 2

7.- los números racionales y sus operaciones

Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones. Este conjunto está situado en la recta real numérica pero a diferencia de los números naturales que son consecutivos, por ejemplo a 4 le sigue 5 y a este a su vez le sigue el 6, y los números negativos cuya consecución se da así, a -9 le sigue -8 y a este a su vez le sigue -7; los números racionales no poseen consecución pues entre cada número racional existen infinitos números que solo podrían ser escritos durante toda la eternidad.

Todos los números fraccionarios son números racionales, y sirven para representar medidas. Pues a veces es más conveniente expresar un número de esta manera que convertirlo a decimal exacto o periódico, debido a la gran cantidad de decimales que se podrían obtener.

Definición de números racionales

Para decir, ¿Qué son números racionales? Podemos empezar por decir que, un número racional es una cifra o valor que puede ser referido como el cociente de dos números enteros o más precisamente, un número entero y un número natural positivo. Es decir que es un número racional, es un número que se escribe mediante una fracción.

Los números racionales son números fraccionarios, sin embargo los números enteros también pueden ser expresados como fracción, por lo tanto también pueden ser tomados como números racionales con el simple hecho de dar un cociente entre el número entero y el número 1 como denominador.

Al conjunto de los números racionales se lo denota con la letra ℚ, que viene de la palabra anglosajona “Quotient” traducción literal de cociente, y que sirve para recogerlos como subgrupo dentro de los números reales y junto a los números enteros cuya denotación es la letra Z. Por ello, en ocasiones se refieren a los números racionales como números ℚ.

Un número racional puede ser expresado de diferentes maneras, sin alterar su cantidad mediante fracciones equivalentes, por ejemplo ½ puede ser expresado como 2/4 o 4/8, debido a que estas son fracciones reducibles. Asimismo existe una clasificación de los números racionales dependiendo de su expresión decimal, estos son:

Los números racionales limitados, cuya representación decimal tiene un número determinado y fijo de cifras, por ejemplo 1/8 es igual a 0,125.

Los números racionales periódicos, de los cuales sus decimales tienen un número ilimitado de cifras, pero se diferencian de los números irracionales porque de esas cifras se puede descubrir un patrón definido mientras que en los números irracionales sus cifras decimales son infinitas y no-periódicas.

A su vez los números racionales periódicos se dividen en dos, los periódicos puros, cuyo patrón se encuentra inmediatamente después de la coma, por ejemplo 0,6363636363… y los periódicos mixtos, de los cuales el patrón se encuentra después de un número determinado de cifras, por ejemplo 5,48176363636363…

Propiedades de los números racionales

Existen para la suma y resta, y para la multiplicación y división, distintas propiedades de los números racionales, estos son:

Entre las propiedades de la suma y resta están:

Propiedad interna.- según la cual al sumar dos números racionales, el resultado siempre será otro número racional, aunque este resultado puede ser reducido a su mínima expresión si el caso lo
necesitara.

a/b+c/d=e/f

Propiedad asociativa.- se dice que si se agrupa los diferentes sumandos racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un número racional. Veamos:

(a/b+c/d)−e/f=a/b+(c/d−e/f)

Propiedad conmutativa.- donde en la operación, si el orden de los sumando varía, el resultado no cambia, de esta manera:

a/b+c/d=c/d+a/b

Elemento neutro.- el elemento neutro, es una cifra nula la cual si es sumada a cualquier número racional, la respuesta será el mismo número racional.

a/b+0=a/b

Inverso aditivo o elemento opuesto.- es la propiedad de números racionales según la cual, existe un elemento negativo que anula la existencia del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como resultado el cero.

a/b−a/b=0

Por otro lado, existen también las propiedades de los números racionales por parte de la multiplicación y la división, y estas son:

Propiedad interna.- en razón de que al multiplicar números racionales, el resultado también es un número racional.

a/b×c/d=e/f

Esta además aplica con la división

a/b÷c/d=e/f

Propiedad asociativa.- donde al agrupar diferentes factores la forma de la agrupación, no altera el producto.

(a/b×c/d)×e/f=a/b×(c/d×e/f)

Propiedad conmutativa.- aquí se aplica la famosa frase, el orden de los factores no altera el producto, entre los números racionales también funciona.

a/b×c/d=c/d×a/b

Propiedad distributiva.- al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos, veamos el ejemplo:

a/b×(c/d+e/f)=a/b×c/d+a/b×e/f

Elemento neutro.- en la multiplicación y la división de números racionales, existe un elemento neutro que es el número uno, cuyo producto o cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo número.

a/b×1=a/b 

 a/b÷1=a/b

Ejemplos de números racionales

Los números racionales son números fraccionarios, es decir que podríamos escribir cualquier cociente entre dos números enteros y llamarlo número racional, aquí un ejemplo

5/7

Aunque también podría ser expresado de esta manera:

5/7

Sin embargo, los números enteros también pueden ser incluidos dentro de los números Q, al formar un cociente con un número neutro, es decir de este modo:

3=3/1

Aunque también podríamos expresar el número entero 3, en forma de fracción, en el caso de necesitarlo en alguna operación matemática, pues al simplificarlo obtenemos la misma respuesta:

15/5=3

También encontramos números racionales enteros negativos, por ejemplo:

−6=−6/1

0,2424242424… también puede ser tomado como un número racional, pues sus decimales son periódicos, y podemos expresarlo en forma de fracción, así:

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