Operaciones con números enteros
Operaciones con números enteros, suma, resta, multiplicación y división
de números enteros. Aplicación de la regla de los signos
Números enteros y valor absoluto
El conjunto de los números enteros lo
forman los enteros positivos, enteros negativos y el cero . Los
signos + y - que llevan los números enteros no son signos de operaciones (suma,
resta), sino que indican simplemente la cualidad de ser positivos o negativos.
Se llama valor absoluto de
un número entero al número natural que resulta de prescindir del signo. Se
expresa encerrando este número entre dos barras.
Operaciones con números enteros
Suma de números enteros
Cuando los números enteros tienen el mismo
signo: se suman los valores y se deja el signo que tengan, si son positivos signo
positivo y si son negativos signo negativo. Si no se pone nada delante del
número se entiende que es +.
Ejemplos números enteros del mismo signo
(+5) + (+4) = +9
es lo mismo que: 5 + 4 = 9
(- 5) + (- 4) = -
9 es lo mismo que: - 5 - 4 = - 9
Cuando los números enteros tienen distinto
signo: se restan sus valores absolutos y se pone el signo del sumando de mayor
valor absoluto. (Se restan y se deja el signo del más grande en valor
absoluto).
Ejemplos números enteros de distinto signo
(+20) + (-10) = 20
-10 = +10 ( 20 -10 =10, el más grande es +20, se pone +10)
(- 8) + (+3) = - 8
+ 3 = - 5 (8 - 3 = 5, el más grande es el - 8, se pone -5)
(+11) + (- 2) = 11
- 2 = + 9 (11 - 2 = 9, el más grande es el 11, se pone +9)
Ejercicios resueltos de sumar números enteros
Producto y Cociente de números enteros: regla de los signos
Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos
y se aplica la regla de los signos. Cuando van dos signos seguidos hay que
separarlos utilizando paréntesis.
- (+8) . (+3) = +
24
- (-3) . (-2) = + 6
- (+4) . ( -1) = -
4
- (-2) . (+4) = -
8
Para dividir dos números enteros se divide el dividendo entre el divisor y
se aplica la regla de los signos. Una división es exacta cuando el resto es 0.
- (-15) : (-15) =
+1
- 8 : 4 = +2
- - 4 : (-2) = +2
- 10 : 2 = +5
- 10 : (-2) = - 5
- (-8) : 4 = - 2
- 24 : (-4) = - 6
- - 6 : 3 = - 2
7.- los
números racionales y sus operaciones
Los
números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros
representados por medio de fracciones. Este conjunto está situado en la recta
real numérica pero a diferencia de los números naturales que son consecutivos,
por ejemplo a 4 le sigue 5 y a este a su vez le sigue el 6, y los números
negativos cuya consecución se da así, a -9 le sigue -8 y a este a su vez le
sigue -7; los números racionales no poseen consecución pues entre cada número
racional existen infinitos números que solo podrían ser escritos durante toda
la eternidad.
Todos
los números fraccionarios son números
racionales, y sirven para representar medidas. Pues a veces es más
conveniente expresar un número de esta manera que convertirlo a decimal exacto
o periódico, debido a la gran cantidad de decimales que se podrían obtener.
Definición de números racionales
Para decir, ¿Qué son números racionales? Podemos empezar por decir
que, un número racional es una cifra o valor que puede ser referido como el
cociente de dos números enteros o más precisamente, un número entero y un
número natural positivo. Es decir que es un número racional, es un número que
se escribe mediante una fracción.
Los
números racionales son números fraccionarios, sin embargo los números enteros
también pueden ser expresados como fracción, por lo tanto también pueden ser
tomados como números racionales con el simple hecho de dar un cociente entre el
número entero y el número 1 como denominador.
Al
conjunto de los números racionales se lo denota con la letra ℚ, que viene de la palabra anglosajona “Quotient” traducción
literal de cociente, y que sirve para recogerlos como subgrupo dentro de los
números reales y junto a los números enteros cuya denotación es la letra Z. Por
ello, en ocasiones se refieren a los números racionales como números ℚ.
Un
número racional puede ser expresado de diferentes maneras, sin alterar su
cantidad mediante fracciones equivalentes, por ejemplo ½ puede ser expresado
como 2/4 o 4/8, debido a que estas son fracciones reducibles. Asimismo existe
una clasificación de los números racionales dependiendo de su expresión
decimal, estos son:
Los
números racionales limitados, cuya representación decimal
tiene un número determinado y fijo de cifras, por ejemplo 1/8 es igual a 0,125.
Los
números racionales periódicos, de los cuales sus decimales
tienen un número ilimitado de cifras, pero se diferencian de los números
irracionales porque de esas cifras se puede descubrir un patrón definido
mientras que en los números irracionales sus cifras decimales son infinitas y
no-periódicas.
A su
vez los números racionales periódicos se dividen en dos, los periódicos puros,
cuyo patrón se encuentra inmediatamente después de la coma, por ejemplo
0,6363636363… y los periódicos mixtos, de los cuales el patrón se encuentra
después de un número determinado de cifras, por ejemplo 5,48176363636363…
Propiedades de los números racionales
Existen
para la suma y resta, y para la multiplicación y división, distintas
propiedades de los números racionales, estos son:
Entre
las propiedades de la suma y resta están:
Propiedad interna.- según la cual al sumar dos
números racionales, el resultado siempre será otro número racional, aunque este
resultado puede ser reducido a su mínima expresión si el caso lo
necesitara.
a/b+c/d=e/f
Propiedad asociativa.- se dice que si se agrupa
los diferentes sumandos racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un
número racional. Veamos:
(a/b+c/d)−e/f=a/b+(c/d−e/f)
Propiedad conmutativa.- donde en la operación, si
el orden de los sumando varía, el resultado no cambia, de esta manera:
a/b+c/d=c/d+a/b
Elemento neutro.- el elemento neutro, es una
cifra nula la cual si es sumada a cualquier número racional, la respuesta será
el mismo número racional.
a/b+0=a/b
Inverso aditivo o elemento opuesto.- es la propiedad de números
racionales según la cual, existe un elemento negativo que anula la existencia
del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como resultado el cero.
a/b−a/b=0
Por
otro lado, existen también las propiedades de los números racionales por parte
de la multiplicación y la división, y estas son:
Propiedad interna.- en razón de que al
multiplicar números racionales, el resultado también es un número racional.
a/b×c/d=e/f
Esta
además aplica con la división
a/b÷c/d=e/f
Propiedad asociativa.- donde al agrupar
diferentes factores la forma de la agrupación, no altera el producto.
(a/b×c/d)×e/f=a/b×(c/d×e/f)
Propiedad conmutativa.- aquí se aplica la famosa
frase, el orden de los factores no altera el producto, entre los números
racionales también funciona.
a/b×c/d=c/d×a/b
Propiedad distributiva.- al combinar sumas y
multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado
por cada uno de los sumandos, veamos el ejemplo:
a/b×(c/d+e/f)=a/b×c/d+a/b×e/f
Elemento neutro.- en la multiplicación y la
división de números racionales, existe un elemento neutro que es el número uno,
cuyo producto o cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo
número.
a/b×1=a/b
a/b÷1=a/b
Ejemplos de números racionales
Los
números racionales son números fraccionarios, es decir que podríamos escribir
cualquier cociente entre dos números enteros y llamarlo número racional, aquí
un ejemplo
5/7
Aunque
también podría ser expresado de esta manera:
5/7
Sin
embargo, los números enteros también pueden ser incluidos dentro de los números
Q, al formar un cociente con un número neutro, es decir de este modo:
3=3/1
Aunque
también podríamos expresar el número entero 3, en forma de fracción, en el caso
de necesitarlo en alguna operación matemática, pues al simplificarlo obtenemos
la misma respuesta:
15/5=3
También
encontramos números racionales enteros negativos, por ejemplo:
−6=−6/1
0,2424242424…
también puede ser tomado como un número racional, pues sus decimales son
periódicos, y podemos expresarlo en forma de fracción, así:
24/99
MI ALEGRÍA Y FELICIDAD CRECEN JUNTO CON ELLA
