Solución de una ecuación cuadrática

Les dejo este anexo, para que tengan una mayor comprensión del tema.

¡Sí se puede!

Fórmula cuadrática

Cuando la ecuación cuadrática está en su forma estándar y se nos hace difícil encontrar sus raíces mediante factorización, podemos utilizar el método de la fórmula cuadrática.

La fórmula cuadrática es:

Pasos para Buscar las Raíces de una Ecuación Usando la Fórmula Cuadrática:

1. Llevar a la ecuación a su forma estándar

2. Determinar los valores de las constantes a, b y c.

3. Utilizar la fórmula cuadrática sustituyendo los valores por las variables, primero con el signo “+” para encontrar una raíz y luego con el signo “-” para encontrar la segunda raíz.

Ejemplo:

Ecuaciones cuadráticas

Una ecuación cuadrática es una ecuación de segundo grado cuya forma estándar es:

 
Método de factorización
Una técnica importante para resolver educaciones cuadráticas tiene como base el hecho de que si “m” y “n” son factores reales, tales que pq = 0, entonces p = 0 ó q = 0, de ahí que si puede expresarse como un producto de polinomios de primer grado, entonces pueden encontrarse soluciones igualando cada factor a cero.
Si una ecuación cuadrática puede ser factorizada en una multiplicación de factores lineales, entonces puede decirse que es una ecuación factorizable.

Por ejemplo:

Es una ecuación factorizable porque puede ser factorizada por los factores lineales (3x - 4) y (x + 2). O sea:

3x²⁺2x -8= (3x - 4)(x + 2).

 

Para resolver una ecuación mediante este método se siguen los siguientes pasos:

1. Primero se escribe la ecuación en la forma ax² + bx + c = 0
   
2. Luego se factoriza la expresión en factores lineales
   
3. Se iguala cada factor a cero
   
4. Se determina el valor de x .
   

Ejemplo:

Las raíces son 4/3 y -2 y cualquiera de ellas cumple exactamente la ecuación.

Las técnicas de factoreo vistas anteriormente son usadas en gran medida en este tipo de ecuaciones.

Ecuaciones lineales

Las ecuaciones de la forma ax + b = 0 son muy sencillas de resolver, basta con despejar la x.

Despejar la x significa dejar la x sola a un lado del signo igual. Para pasar un número, o una variable, al otro lado del signo igual tenemos que seguir estas reglas:

• Si está sumando pasa restando y si esta restando pasa sumando. En nuestro caso quedaría ax = -b

• Si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando. En nuestro caso x = -b/a.

Una forma más sencilla de ver este método de despejar, es que a los dos miembros de las ecuaciones se les realizan exactamente las mismas operaciones a cada uno.

Como son iguales, el uno y el otro, al realizarles exactamente la misma operación su resultado variara exactamente de la misma manera (en el caso que sea cero un multiplicando o un dividendo esta regla no se aplica).

Pasos:

1. Se efectúan las operaciones indicadas de cada miembro, si las hay.

2. Se añaden los mismos términos a cada lado del igual a fin de dejar todas las expresiones con incógnita de un lado de la ecuación y todas las cantidades conocidas del otro lado.

3. Se reducen los términos semejantes.

4. Se despeja la incógnita dividiendo entre el coeficiente de la incógnita ambos miembros de la ecuación.

5. Se comprueba que el resultado obtenido sea correcto reemplazándolo en la ecuación original.

Ejemplo explicativo:

Existen muchas ecuaciones que a simple vista se puede suponer que son de un grado superior pero que fácilmente se convierten en ecuaciones de 1er grado al factorizar ó añadir términos para desaparecer los términos de grado superior a uno.

Ejemplo explicativo:

Ejemplos:

Tipos de ecuaciones

Las ecuaciones se pueden clasificar de varias formas:


Por el número de incógnitas.

Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas. Por ejemplo la ecuación 3x + 4 = 10, sólo tiene una incógnita, la ecuación 3x - y = 5, tiene dos y 5xy - 3x2 + z = 8 tiene tres incógnitas.

Las ecuaciones con una incógnita se pueden imaginar como puntos sobre el eje x. Las de dos incógnitas como curvas en un plano. Las de tres incógnitas como curvas en un espacio de tres dimensiones.

Por el grado de la incógnita.

Las ecuaciones de una incógnita se pueden clasificar por el grado de la incógnita (el grado es el exponente más alto de la incógnita).

Si el exponente mas alto es uno entonces la ecuación es de primer grado.

Si el exponente mas alto es dos entonces la ecuación es de segundo grado o cuadrática.

Si el exponente mas alto es tres entonces la ecuación es de tercer grado o cúbica. Y así sucesivamente.

Hay fórmulas generales para resolver las ecuaciones de grado 1 a 4 (pero las fórmulas son complicadas y difíciles de recordar para grado mayor que 2). Si no se puede descomponer la ecuación en factores, cualquier ecuación, sea del grado que sea, se puede resolver de esta forma:

Sea la ecuación: xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0
Si x1, x2, ..., xn son las soluciones de la ecuación, se cumplen las siguientes ecuaciones:
x1 + x2 + ... + xn = -a1
x1x2 + x1x3+...+x1xn + x2x3+...+ x2xn + ...+ xn-1xn = a2
x1x2x3 + x1x2x4 + ...+ x1x2xn + x2x3x4 +...+ x2x3xn + ...+ xn-2xn-1xn = -a3

x1x2...xn = (-1)nan
Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un sistema de ecuaciones que nos permitiría obtener las soluciones.

Por el número de términos
Ecuaciones binómicas: Las ecuaciones con dos términos se llaman ecuaciones binómicas.
Ecuaciones polinómicas: Las ecuaciones que tienen tres términos, se llaman trinómicas, y aunque podríamos seguir llamándolas en función del número de términos, se suelen llamar polinómicas.

De acuerdo a su conjunto solución

Ecuación identidad: x es la que se cumple para cualquier valor de la variable.

Ecuación condicionada: es cuando se le añade a la ecuación una condición adicional.

5x + 2y = 9 tal que “x” y “y” pertenecen a N; la pertenencia a los números Naturales es la condición.

Ecuaciones equivalentes: cuando el conjunto solución de una ecuación es igual al de otra ecuación se dice que estas ecuaciones son equivalentes.

Por su estructura:
Ecuación entera: es aquella en que todos sus términos son enteros.
6y + 4x – 5 = 3x – 2 ; 2x – 3y = 9
Ecuación fraccionaria: aquella en que uno o mas de sus términos poseen denominador.
x + 5y – 2 = 3x + 1 ; 12 + 3 = 5x
5 3 2 x y
Ecuación racional: es en la que ninguno de sus términos lleva la incógnita bajo un radical.
2x – 3y = 9 ; √2 – 5m√32 = 7
x
Ecuación irracional: es en la que al menos uno de sus términos lleva la incógnita bajo un radical.
2√x – 3y = 9 ; √x – 5m√m = 7 - m

Ecuaciones

La intensión de resolver las ecuaciones es encontrar sus raíces o soluciones de la ecuación.

Lo primero que hay que saber es que toda ecuación algebraica de grado n con coeficientes reales o complejos tiene al menos una raíz real o compleja. Este enunciado es el teorema fundamental del álgebra.

D'Alembert fue el primer matemático que dio una demostración, pero no era completa. Se considera a Gauss como el primer matemático que dio una demostración rigurosa.

Conceptos básicos:

Igualdad: Es la expresión en la cual se indica que una expresión tiene el mismo valor que otra. La igualdad sólo se cumple para determinados valores de la expresión.

5 + 10 = 3*5 2m +8 = 12

Identidad: Es la expresión en la cual se indica que dos expresiones son iguales para cualquier valor que se ponga en lugar de las letras que figuran en la expresión.

 

Ecuación: Es la expresión de igualdad condicionada por cantidades conocidas y cantidades desconocidas o incógnitas, que se cumplen únicamente para determinados valores. Las ecuaciones son igualdades. Nunca debemos olvidar esto.

Y -2 = 6 se cumple si Y = 8
3x + 5y = 23y se cumple si x = 6y
 

Miembros: miembros de una ecuación son las expresiones colocadas a la derecha y a la izquierda del signo igual (=)

3x = 5
donde 3x es el primer miembro y 5 el segundo miembro.
 

Términos: términos de una ecuación, son cada una de las expresiones que estan conectadas con otra por los signos de suma y resta (+, –).

 

Grado: el grado de una ecuación con una incógnita es el mayor exponente de esa incógnita.

Raíz: se le llama raíz de una ecuación a cualquier valor numérico que al sustituirse por la incógnita satisfaga la ecuación.

3x = 15 la raíz es 5 pues 3(5) = 15 y cumple la condición.

 

Conjunto solución: es el conjunto de todos los números que satisfacen la igualdad en una ecuación. Es el conjunto de todas las raíces de la ecuación.

3x2 = 12 {2, -2} son el conjunto solución pues ambos cumplen la condición.

Debemos distinguir entre identidades y ecuaciones. Cuando dos expresiones son iguales para cualesquiera valores que se pongan en lugar de las letras que figuran en la expresión es una identidad.

Cuando la igualdad sólo se cumple para determinados valores de la expresión es una ecuación.

 

Comprobación de ecuaciones: la comprobación se realiza sustituyendo la raíz obtenida en la ecuación original, si ambos miembros dan el mismo resultado se confirma la respuesta.

Pasos para factorizar la suma o diferencia de dos potencias iguales

1

Clasificar la expresión en positiva o negativa, y en par o impar (si son positivas y pares no se pueden realizar por este método).

2

Se sacan las raíces de cada termino.

3

Se coloca el primer factor el cual es un binomio cuyo primer termino es la raíz del primer termino dado y el segundo termino es la raíz del segundo termino dado.

4

El signo del primer factor (binomio) será el mismo que tiene la expresión dada.

5

Se crea el segundo factor (un factor polinomio) en el cual existirá un número de términos igual al exponente de la expresión dada (los siguientes pasos son solo para el segundo factor).

6

En cada término se multiplicara el término de la izquierda por el término de la derecha de la expresión dada

7

En el primer término del factor polinomio el factor de la izquierda tendrá un exponente igual a “n – 1”, y el factor derecho tendrá un exponente de cero.

8

Para los exponentes de los siguientes términos, en el caso del factor de la izquierda irán disminuyendo en una unidad, y los del termino de la derecha irán aumentando también en una unidad (si se suman los exponentes de los dos términos siempre será igual a n-1).

 9

Si el binomio es negativo todos los términos del polinomio son positivos, si el binomio es positivo impar los signos del polinomio se alternarán (+ ó –) comenzando por el “+”.

10

Cuando en el polinomio, el exponente del termino de la derecha sea igual a n-1 damos por terminada la respuesta.

Ejemplos:

Suma o diferencia de dos potencias iguales

De los cociemtes iguales, recordemos que:

Pero en la división exacta el dividendo es igual al divisor multiplicado por el cociente, al despejarlo nos queda:

Y esto es valido para cualquier diferencia de dos potencias iguales ya sean impares o pares.
Así también:

Al despejarlo nos queda:

Que es valido para cualquier suma de dos potencias iguales impares únicamente(con pares no funciona).
Si tomamos también:

Al despejarlo nos queda:

Que es válido para cualquier diferencia de dos potencias iguales pares únicamente (con impares no funciona).

Suma o diferencia de cubos perfectos

Recordamos de cocientes notables que:

Pero en la división exacta el dividendo es igual al divisor multiplicado por el cociente, efectuándolo nos queda:

De donde se deducen las siguientes reglas:

• La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la suma de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

• La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la diferencia de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone del cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces mas el cuadrado de la segunda raíz.

Ejemplo:

 Más ejemplos:

Para profesores y alumnos

Las matemáticas son un tema difícil para algunos estudiantes. Escribir números en un tablero y solucionar ecuaciones aparentemente interminables puede ser aburrido para muchos de ellos. Los profesores entusiastas cultivan los deseos de aprender a sus estudiantes. Los profesores motivados con una actitud positiva pueden ayudar a sus alumnos a querer aprender más sobre las matemáticas. Anima a tus estudiantes a trabajar juntos, introduce juegos y recompénsalos para ayudarlos a aumentar su motivación por aprender matemáticas.

Sugerencias

1

Exhibe entusiasmo por las matemáticas para motivar a tus estudiantes. La auto-confianza del profesor y creer en las capacidades de los alumnos motiva a los estudiantes a aprender. Los alumnos motivados podrán disfrutar de la materia, participar en las actividades de la clase y absorber más material. Un salón de clases con las últimas pizarras electrónicas, computadoras y libros de texto lujosos no reemplazarán a un maestro altamente motivado y positivo.

2

Involucra a los estudiantes en la clase. Incorpora actividades que los ayuden a aprender con la práctica a resolver problemas matemáticos y a conocer los conceptos matemáticos. Pide a tus alumnos sugerir maneras de resolver un problema de matemáticas en lugar de decirles cómo hacerlo. Anímalos a pensar en nuevos métodos o variaciones en ellos para resolver problemas matemáticos. Utiliza juegos de matemáticas y actividades diarias como oportunidades de aprendizaje.

3

Quita el foco en las calificaciones. Las calificaciones son una importante fuente de ansiedad para los estudiantes. Da crédito a la participación en clase y a la realización de las tareas. Cambia el enfoque de penalizar a un estudiante por los trabajos incompletos o inexactos al dar crédito a las tareas completadas y correctas.

4

Relaciona las matemáticas a situaciones de la vida real que los estudiantes puedan entender. Usa actividades diarias tales como la creación de un presupuesto, calcular los intereses sobre un préstamo y determinar el monto del impuesto sobre las ventas del video juego que el alumno quiere comprar. En las computadoras, juegos electrónicos, la medición de los ingredientes para una receta y las deducciones en los salarios están todas las funciones matemáticas. Una vez que tengan conocimiento de las aplicaciones diarias de las matemáticas, estarán más inspirados para aprenderlas.

5

Vuelve a las tareas y exámenes tan pronto como sea posible para que los estudiantes obtengan retroalimentación sobre su desempeño rápidamente. Prémialos por sus aciertos. Evita la retroalimentación negativa. Diles lo que están haciendo bien, alabando sus logros.

Factorización: Cubo perfecto de binomios

Les comparto aquí un vídeo de la Academia Vásquez, para hacer que la comprensión del tema sea mayor.

Ya lo hemos venido trabajando, sin embargo que mejor que aprovechar un reforzador.

EJERCICIOS: Cubo perfecto de binomios

(Parte 3)
 
1)  Factorar   a^3  +3a^2  +3a  +1

Raíz cúbica de  a^3 = a      ;       raíz cúbica de   1    =  1
2° término:   3(a)^2(1) = 3(a^2)(1) = 3a^2  
3° término:   3(a)(1)^2 = 3(a)(1) = 3a 
Signos positivos –>  (a+1)^3
Por lo tanto:   a^3  +3a^2  +3a  +1 = (a+1)^3  Solución.




2) Factorar     27 -27x +9x^2 -x^3  (Está ordenado de menor a mayor grado)

Raíz cúbica de     27 = 3       ;       raíz cúbica de   x^3 =  x
2° término:  3(3)^2(x) =3(9)(x) = 27x 
3° término :  3(3)(x)^2 = 3(3)(x^2) = 9x^2 
Signos alternos (x, -, +, -) –>  (3 -x)^3
Por lo tanto:   27 -27x +9x^2 -x^3  =  (3 -x)^3  Solución



3) Factorar   m^3  +3m^2n  +3mn^2  +n^3

Raíz cúbica de m^3 = m       ;       n^3 = n
2° término:  3(m)^2(n) = 3(m^2)(n) = 3m^2n 
3° término:  3(m)(n)^2 = 3(m)(n^2) = 3mn^2 
Signos positivos –>  (m+n)^3
Por lo tanto:  m^3  +3m^2n  +3mn^2  +n^3 = (m+n)^3  Solución



4) Factorar    1  -3a  +3a^2  -a^3

Raíz cúbica de  1 = 1       ;      raíz cúbica de  a^3 = a
2° término:  3(1)^2(a) = 3(1)(a) = 3a 
3° término:  3(1)(a)^2 = 3(1)(a^2) = 3a^2   
Signos alternos (+, -, +, -) –>  (1 -a)^3
Por lo tanto:  1  -3a  +3a^2  -a^3 =   (1 -a)^3 Solución.

Cubo perfecto de un binomio (condiciones)

(Parte 2)
 

Condiciones que debe cumplir la expresión para ser un Cubo Perfecto de Binomios:
Sea la expresión:  a^3  +3a^2b  +3ab^2  +b^3 = (a+b)^3
a) Debe tener 4 términos
b) Que el 1° y 4° término sean cubos perfectos.
c) Que el 2° término sea el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del 4°  término ( 3a^2b)
d) Que el 3° término sea el triplo de la raíz cúbica del primer término multiplicado por el cuadrado de la raíz cúbica del 4° término (3ab^2)



Procedimiento para factorar una expresión que sea un Cubo Perfecto de Binomio:
Sea el ejemplo:  8x^3 +12x^2 +6x +1
>> Se extrae la raíz cúbica del 1° y 4° términos:
raíz cúbica de  8x^3 = 2x       y    raíz cúbica de  1 = 1  
>> Se comprueba el 2° y 3° término de la expresión:
2° término:   3(2x)^2(1) = 3(4x^2)(1) = 12x^2
3° término:  3(2x)(1)^2 = 3(2x)(1) = 6x
>> Como todos los términos de la expresión son positivos la el binomio resultante de la expresión es:
8x^3 +12x^2 +6x +1 = (2x +1)^3 ,   que es la Solución.



Otro ejemplo: 8x^6 +54x^2y^6 -27y^9 -36x^4y^3
>> En este caso se ordena la expresión en relación a la letra “x” y quedaría así:
8x^6  -36x^4y^3  +54x^2y^6  -27y^9  –>
>> Se extrae la raíz cúbica del 1° y 4° término:
raíz cúbica de  8x^6 = 2x^2       ;   raíz cúbica de  27y^9 = 3y^3
>> Se comprueba el 2° y 3° término de la expresión:
2° término:  3(2x^2)^2(3y^3) = 3(4x^4)(3y^3) = 36x^4y^3
3° término:  3(2x^2)(3y^3)^2 = 3(2x^2)(9y^6) = 54x^2y^6
>> Como los términos de la expresión son alternativamente positivos y negativos ( +, -, +, -) el binomio resultante de la expresión es:   8x^6  -36x^4y^3  +54x^2y^6  -27y^9  =  (2x^2 -3y^3)^3  que es la Solución




—————————————————————————————
NOTA:  Para extraer la raíz cúbica de un monomio, se le extrae raíz cúbica al coeficiente y se divide el exponente de la letra entre 3 :  8x^6 –>   raíz cúbica de 8 es  2     y    6/3 = 2  –>  = 2x^2

Cubo perfecto de binomios (cuatrimonios)

De los productos notables tenemos:

En este caso la factorización es realizar la operación inversa a esta:

Para reconocerlo se deben tomar en cuenta los siguientes puntos:

• Debe tener cuatro términos, y estar ordenado con respecto a una letra.

• Dos de sus términos, deben poseer raíz cúbica exacta.

• El segundo termino debe ser igual al triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del cuarto termino [3(a)²(b)].

• El tercer término debe ser igual al triple producto de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado la raíz cúbica del cuarto termino.

• El segundo y el cuarto termino deben tener el mismo signo y puede ser positivo o negativo, el primer y tercer término siempre son positivos (si el primer y tercer término son negativos realizar factor común con el factor -1).

Ejemplo explicativo:

Ejemplos:

Día de PI

 (Parte 2)

APRENDIENDO UN NÚMERO FINITO

Sin embargo, más difícil es aprendérselo de memoria. Es el pasatiempo de algunas mentes privilegiadas: el campeón es el chino Lu Chao, que es capaz de recitar 67. 890 decimales. Sin embargo, otros grandes cerebros como Hiroyuki Goto (42.195 decimales) o Akira Haraguchi le intentan arrebatar el título.