Curso de álgebra

Lección 19                Binomio a cualquier 

                                potencia      

Generalización.

Como vimos anteriormente el cuadrado y el cubo de un binomio actúan de manera notable, pero cualquier binomio elevado a un exponente actúa de manera notable, veamos las características de estos binomios:

•         El resultado de operar un binomio potenciado nos entrega un polinomio con una cantidad de factores igual al exponente más 1, si el exponente es 3 tendrá 4 factores, si el exponente es 6 tendrá 7 factores, y así sucesivamente.
•     El factor de la izquierda aparece en el polinomio una cantidad de veces igual al exponente y su exponente varia de manera decreciente en el polinomio a partir del exponente del binomio hasta cero.
•     El factor de la derecha aparece en el polinomio una cantidad de veces igual al exponente y su exponente varia de manera creciente en el polinomio a partir de cero hasta alcanzar al exponente del binomio.
•     En cualquier factor del polinomio podemos sumar el exponente del factor de la izquierda y del factor de la derecha y nos dará igual al exponente del binomio.
•   El factor numérico por el cual se multiplica cada factor del polinomio se define según el siguiente triángulo:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

etc. etc.

Este triángulo es conocido como triángulo de Pascal, el cual no tiene final, y para su elaboración se dispone de dos pasos.

Añadir un uno al inicio y al final de cada renglón.

•       Sumar los dos números consecutivos que se encuentran justamente arriba en el renglón inmediatamente superior.
•          El segundo número que aparece en el renglón de este triángulo es el mismo que se encuentra como exponente del binomio, y es este renglón el que se debe ocupar para el producto notable.

Ahora que hemos visto como se comportan los binomios notables se puede proponer un proceso adecuado para desarrollar cualquier binomio potenciado:

•       Se colocaran uno a uno los factores del polinomio tomando como multiplicador el número respectivo del renglón adecuado del triángulo de Pascal.
•       Se comenzara colocando el número del triángulo de Pascal (todos los renglones comienzan con 1) multiplicando a el primer factor, encerrado en un paréntesis, elevado al mismo exponente que se encuentra elevado el binomio y multiplicando también al segundo factor, también en un paréntesis, elevado al exponente cero.
•     Los siguientes factores también son la multiplicación del numero correspondiente del triángulo, por el primer factor elevado a un exponente menor en una unidad al que aparece en el factor anterior, y por el segundo exponente elevado a un exponente mayor en una unidad al de el factor anterior.
•     Se sigue el paso anterior hasta que el exponente de el primer factor sea cero y el de el segundo factor sea igual al de el binomio.
•       Se realizan las multiplicaciones indicadas.

Ejemplos:

Presentación de un ejemplo: