EL MOVIMIENTO CAÓTICO

La característica del caos es que un sistema determinista puede dar la impresión de generar una conducta aleatoria. Examinemos otro ejemplo, la fórmula repetitiva, o iterativa

A x P (1-P)

donde P representa la población, medida como una proporción en una escala de 0 a 1. El valor de A debe estar comprendido entre 0 y 4 para garantizar que el valor de P permanezca en el rango de 0 a 1.

Vamos a modelar la población cuando A=2. SI escogemos un valor inicial de, por ejemplo, P=0.3 en tiempo igual a cero, para hallar la población en tiempo igual a uno, introducimos P=0.3 en A x P (1-P), lo que nos da 0.42. Usando únicamente una calculadora manual podemos repetir esta operación, ésta vez con P=0.42, lo que nos da la siguiente cifra (0.4872). Avanzando de esta manera, hayamos la población que habrá en tiempos posteriores. En este caso, la población rápidamente se estabiliza en P=0.5. Esta estabilización siempre se da para los valores de A<3.

El movimiento caótico es aquel que no muestra pauta alguna de regularidad, parece ser totalmete aleatorio y es difícil de predecir su comportamiento si se considera como un sistema. Se le conoce como movimiento browniano.

Si ahora escogemos A=3.9, un valor próximo al máximo permisible, y usamos la misma población inicial P=0.3, la población no se estabiliza sino que oscila desenfrenadamente. Esto es porque el valor de A está en la ‘región caótica’, es decir, que A es un número mayor que 3.57. Además, si escogemos una población inicial distinta, P´=0.29 que es un valor próximo a 0.3, el crecimiento de la población sigue de cerca el modelo de crecimiento anterior durante los primeros pasos pero después empieza a divergir completamente de él. Éste es el comportamiento que experimentó Edward Lorenz.

Pronóstico del tiempo

Incluso con ordenadores muy potentes, todos sabemos que no podemos hacer pronósticos meteorológicos con más de unos pocos días de antelación. Las ecuaciones que gobiernan el tiempo son no lineales: implican las variables multiplicadas entre sí, no solo las propias variables.

El ingeniero francés Claude Navier en 1821 y el físico y matemático británico George Gabriel Stokes en 1845 elaboraron de forma independiente la teoría que hay detrás de las matemáticas de los pronósticos meteorológicos. Las ecuaciones Navier-Stokes que se obtuvieron tienen un enorme interés para los científicos.

Las ecuaciones Navier-Stokes son un ejemplo de sistema  no lineal de ecuaciones, pues como puede observarse, hay variables en ellos que se multiplican entre sí, y eso las hace muy complejas, incluso para ser resuletas por nuestros más potentes ordenadores. ¿Complejo, no?

Aunque se sabe mucho sobre la teoría de los sistemas lineales de ecuaciones, las ecuaciones Navier-Stokes contienen términos no lineales que las hacen insolubles. Prácticamente, la única forma de resolverlas es hacerlo numéricamente usando potentes ordenadores.

Atractores extraños

El famoso atractor de Lorenz, con dos puntos de acumulación (atractores).

Puede pensarse en los sistemas dinámicos como si poseyeran ‘atractores’ en sus diagramas de fases. En el caso del péndulo simple el atractor es el punto individual del origen hacia el cual se dirige el movimiento. Con el péndulo doble es más complicado, pero incluso en este caso la representación del a fase mostrará cierta regularidad y se verá atraída hacia un conjunto de puntos en el diagrama de fases. En el caso de sistemas como éste, es posible que el conjunto de puntos forme un fractal que se denomina un ‘atractor extraño’, y que tendrá una estructura matemática clara.