FRACTALES

En marzo de 1980, el ordenador central, equipado con la tecnología punta de la época, del centro de investigación de IBM de Yorktown Heights, en el estado de Nueva York, enviaba sus instrucciones a un prehistórico dispositivo de impresión tektronix. Éste percutía diligentemente una página blanca imprimiendo puntos en curiosos lugares, y cuando detuvo su repiqueteo el resultado parecía un puñado de polvo difuminado por toda la hoja. Benoit Mandelbrot se frotaba los ojos sin dar crédito a lo que veía. Comprendía que aquello era importante, pero ¿qué era? La imagen que aprecía lentamente ante él era como una copia en blanco y negro que surgía de un baño de revelado fotográfico. Fue un primer vislumbre de esse ícono del mundo de los fractales: el conjunto de Mandelbrot.

Con ayuda de la capacidad de procesamiento informático del ordenador, Mandelbrot se encontró  con las primeras representaciones de lo que él nombró fractales.

Esto eran matemáticas experimentales por excelencia, una aproximación a la materia en la que los matemáticos tenían sus bancos de laboratorio del mismo modo que los físicos y los químicos. Se abrieron nuevas perspectivas, literalmente. Era una liberación respecto a los áridos climas de 'definición, teorema, demostración', si bien es cierto que tendría que producirse un regreso a los rigores de la argumentación racional.

El inconveniente de éste enfoque expermiental era que las imágenes visuales precedían a un apuntalamiento teórico. Los experimentalistas estaban navegando sin un mapa. Aunque Mandelbrot acuñó la palabra 'fractales', ¿qué eran éstos? Al principio, Mandelbrot no quería destruir la magia de la experiencia poniendo a punto una definición clara que pudiera ser insuficiente y limitadora. Pensaba que la idea de un fractal 'como un buen vino, requería añejarse un poco antes de embotellarla'.

El conjunto de Mandelbrot

Mandelbrot y sus colegas no estaban siendo matemáticos especialmente especialmente abstrusos. Estaban jugando con la fórmula más sencilla. Toda la idea se basa en la iteración, la práctica de aplicar una fórmula una y otra vez. La fórmula que generó el conjunto de Mandelbrot era sencillamente X² + c.

Para algunos valores de c en el conjunto de Mandelbrot, la secuencia de zs puede hacer todo tipo de cosas extrañas, como bailar entre varios puntos, pero no se escaparían hacia el infinito. En el conjunto de Mandelbrot vemos otra porpiedad fundamental de los fractales, la de autosimilitud. Si usted hace zoom sobre el conjunto no estará seguro del nivel de amplificación porque no verá sino más conjuntos de Mandelbrot.

Antes de Mandelbrot

Al investigar la historia, Mandelbrot halló que matemáticos como Henri Poincaré y Arthur Cayley ya habían tenido incipientes vislumbres de la idea cien años antes que él. Desgraciadamente, no habían tenido la capacidad informática necesaria para ir más allá en sus investigaciones.

Representación de una curva arrugada, una de las primeras formas de
fractales descubiertas por los matemáticos teóricos.

Entre las formas que descubrió la primera ola de teóricos fractales figuraban las curvas arrugadas y curvas mosntruosas que anteriormente se habían desdechado como ejemplos patológicos de curvas. Como eran tan patológicas, los matemáticos las habían guardado bajo llave en el armario y se les había prestado escasa atención. Lo que se buscaba entonces eran las curvas lisas más normales que se podrían tratar mediante el cálculo diferencial. Cuando los fractales se hicieron populares, otros matemáticos cuyo trabajo se desempolvó fueron Gaston Julia y Pierre Fatou, que trabajaron sobre estructuras parecidas a los fractales en el plano complejo en los años posteriores a la Primera Guerra Mundial.