EL PROBLEMA DEL CUMPLEAÑOS

Imagine que usted está en piso superior de un doubledecker (autobús de doble piso) y que no tiene nada especial que hacer aparte de contar a los demás pasajeros que se dirigen al trabajo a primera hora de la mañana. Como es probable que todos los pasajeros sean independientes entre sí, podemos suponer sin temor a equivocarnos que las fechas de sus cumpleaños estarán desperdigadas al azar a lo largo de todo el año. Incluyéndole a usted, solo hay 23 pasajeros a bordo. No es mucho, pero basta para afirmar que la probabilidad de que dos pasajeros compartan la misma fecha de cumpleaños no es igual que la de que no haya dos que la compartan, sino mayor que ella. ¿Lo cree usted? Hay millones de personas que no, pero es totalmente cierto. Incluso a un experto con gran experiencia en el ámbito de la probabilidad, William Feller, esto le parecía asombroso.

¿Cuántas personas deben congregarse en una sala para que sea cierto que dos personas compartan la misma fecha de cumpleaños? Hay 365 días en un año normal (e ignoremos los años bisiestos solo para simplificar las cosas), de modo que si hubiera 366 personas en la sala al menos un par de ellas tendrían la misma fecha de cumpleaños, categóricamente. No puede darse el caso de que todas ellas tengan fechas de cumpleaños distintas.

Es el principio del palomar: si hay n+1 palomas que ocupan n palomares, un palomar tiene que contener más de 1 paloma. Si hubiera 365 personas no podríamos estar seguros de que habría una fecha de cumpleaños en común porque todos los cumpleaños podrían ser en fechas distintas del año. Sin embargo, si se coge a 365 personas al azar esto sería sumamente improbable y la probabilidad de que 2 personas no compartieran una fecha de cumpleaños sería minúscula. Aun cuando sólo haya 50 personas en la sala hay una probabilidad del 96.5% de que dos personas compartan una fecha de cumpleaños.

Si se reduce aún más el número de personas, se reduce la probabilidad de que dos personas compartan una fecha de cumpleaños. Hallamos que 23 personas es el número para el cual la probabilidad es a penas mayor que ½ y que para 22 personas la probabilidad de que se comparta una fecha de cumpleaños es apenas menor que 1/2. El número de 23 es el valor crítico. Aunque la respuesta al problema clásico del cumpleaños es sorprendente, no es una paradoja.

¿Podemos demostrarlo?

Escojamos una persona al azar. La probabilidad de que otra persona tenga la misma fecha de cumpleaños es 1/365 y por consiguiente la probabilidad de que estas dos personas no compartan la misma fecha de cumpleaños es de uno menos esto (o 364/365). La probabilidad de que otra persona escogida al azar comparta su fecha de cumpleaños con alguna de las dos primeras es de 2/365, de modo que la probabilidad de que esta persona no comparta su fecha de cumpleaños con ninguna de las dos primeras es de uno menos esto (o 363/365). La probabilidad de que ninguna de estas tres personas comparta su fecha de cumpleaños es la multiplicación de estas dos probabilidades, o (364/365) x (363/365), que es 0.9918.

Si continuamos esta línea de pensamiento en los casos de 4, 5,6… personas, la paradoja de problema del cumpleaños queda aclarada. Cuando llegamos a las 23 personas con nuestra calculadora de bolsillo obtenemos la solución 0.4927 como la probabilidad de que ninguna de ellas comparta la misma fecha de cumpleaños. La negación de que “ninguna de ellas comparte una misma fecha de cumpleaños” es que “al menos dos personas comparten un cumpleaños” y la probabilidad de esto es 1 – 0.4927 = 0.5073, apenas mayor que el crucial ½.

El índice de embarazos de mellizos es de 3.2 por cada 100 actualmente, mientras el de gemelos idénticos es de 1 cada 250. En ambos casos, son personas con la misma fecha de cumpleaños, excepto los que nazcan justo a medianoche, uno en los últimos minutos de un día y otro en los primeros del día siguiente. ¿Cuál es la relación con la probabilidad del problema del cumpleaños?

Si n = 22, la probabilidad de que dos personas compartan una misma fecha de cumpleaños es 0.4757, que es menos que 1/2,- La naturaleza aparentemente paradójica del problema del cumpleaños está estrechamente vinculada al lenguaje. El resultado del cumpleaños constituye una afirmación sobre dos personas que comparten una fecha de cumpleaños, pero no nos dice que dos personas son. No sabemos a quienes corresponderán las coincidencias. Si el señor Trevor Thomson, cuyo cumpleaños es el 8 de marzo, esta en la sala, podríamos hacer otra pregunta distinta.

¿Cuántos cumpleaños coinciden con los del señor Thomson?

Para esta pregunta, el cálculo es distinto. La probabilidad de que el señor Thomson no comparta su fecha de cumpleaños con otra persona es de 364/356, de modo que la probabilidad de que no comparta su fecha de cumpleaños con cualquiera de las otras n – 1 personas de las sala es de (364/365) n-1.  Por consiguiente la probabilidad de que el señor Thomson comparta su fecha de cumpleaños con alguien será de 1- este valor.

Si calculamos esto en el caso de n = 23 esta probabilidad es de solamente 0.061151, de modo que solo hay una probabilidad del 6% de que el cumpleaños de otra persona sea el 8 de marzo. Si aumentaos el valor de n esta probabilidad aumentara. Pero tenemos que llegar hasta n = 254 (incluyendo al señor Thomson en la cuenta) para que la probabilidad sea mayor que ½. En el caso de n = 254, su valor es 0.5005. Este es el punto de separación, porque n = 253 dará el valor 0.4991, que es menos que ½. Tendrá que producirse una reunión de 254 personas en la sala para que haya una probabilidad mayor que1/2 de que el señor Thomson comparta su fecha de cumpleaños con alguien más. Esto esta quizá más en sintonía con nuestra intuición que con la sorprendente solución del problema del cumpleaños clásico.