NÚMEROS PERFECTOS IMPARES Y NÚMEROS DE MERSENNE

Trabajos de construcción

Una combinación del trabajo de Euclides y el de Euler proporciona una fórmula que permite generar números perfectos pares: n es un número perfecto par sí y solamente si n = 2^p-1(2^p-1) donde 2^p-1 es un primo de Mersenne.

Por ejemplo,  6 = 2¹(2²-1), 28 = 2²(2³-1) y 496 = 2⁴(2⁵-1). Esta fórmula para calcular números perfectos pares significa que podemos generarlos si podemos hallar los primos de Mersenne. Los números perfectos han supuesto un reto tanto para las personas como para las máquinas y continuarán haciéndolo de una manera que no habían previsto los matemáticos del pasado.

En la imagen se puede observar la sucesión de los primeros números primos de Mersenne.

El creador de tablas Peter Barlow, escribiendo a comienzos del siglo XIX, creía que nadie iría más allá del cálculo del número perfecto de Euler 2³⁰(2³¹-1) = 2,305,843,008,139,952,128 porque no tenía mucho sentido hacerlo. No podía prever la potencia de los ordenadores modernos y la insaciable necesidad de los matemáticos enfrentarse a nuevos desafíos.

Números perfectos impares

Nadie sabe si se hallará alguna vez un número perfecto impar. Descartes pensaba que no, pero los expertos pueden equivocarse. El matemático inglés James Joseph Sylvester declaró que la existencia de un número perfecto impar “sería poco menos que un milagro” por las muchas condiciones que éste tendría que cumplir. Es uno de los programas antiguos de las matemáticas, pero, si de veras existe un número perfecto impar, ya se sabe mucho sobre el punto necesitaría tener por lo -8 divisores primos distintos, uno de los cuales mayor de 1 millón, y al mismo tiempo tendrá que tener como mínimo 300 dígitos.

Se desconoce si existen infinitos números perfectos, igual que los números perfectos impares; se trata probablemente del problema irresuelto más antiguo de las matemáticas.