LOS NÚMEROS DE MERSENNE

La clave para construir números perfectos es un grupo de números que elevan el nombre del padre Marín Mersenne. Los números de Mersenne se construyen a partir de las potencia de dos, los números que se van doblando 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256... Y a los que después se sustrae un solo 1. 

Un número de Mersenne es un número que tiene la forma 2ⁿ-1. Aunque siempre son impares, no siempre son primos. Pero son aquellos números de Mersenne que también son primos los que se pueden usar para construir números perfectos.

Éstos números fueron propuestos por Marin Mersenne.

Mersenne sabía que si la potencia no era un número primo, el número de Mersenne tampoco podía ser un número primo, lo que da cuenta de las potencias no primas 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 y 15 de la tabla. Los números de Mersenne sólo podían ser primos si la potencia era un número primo, pero ¿basta con eso? Para los primeros casos, obtenemos 3, 7, 31 y 127, todos los cuales son primos. De modo que, ¿es generalmente cierto que un número de Mersenne tendría que ser también primo?

Potencia	Resultado	Se resta (Número de Mersenne)	¿Número primo?
2	4	3	Primo
3	8	7	Primo
4	16	15	No primo
5	32	31	Primo
6	64	63	No primo
7	128	127	Primo
8	256	255	No primo
9	512	511	No primo
10	1,024	1,023	No primo
11	2,048	2,047	No primo
12	4,096	4,095	No primo
13	8,192	8,191	Primo
14	16,384	16,383	No primo
15	32,768	32,767	No primo

Muchos matemáticos del mundo antiguo pensaban que así era pero los primos no están constreñidos por la simplicidad, y se descubrió que, en el caso de la potencia 11 (un número primo), 2¹¹ – 1 = 2,047 = 23 x 89 y por consiguiente no es un número primo. Parece que no hay ninguna regla. Los números de Mersenne 2¹⁷ – 1 y 2¹⁹ – 1 son ambos, primos, pero 2²³ – 1 no es primo, porque 2²³ – 1 = 8,388,607 = 47 x 178,481.