MÁS FRACTALES...

La famosa curva de Koch, lleva ese nombre en honor al matemático sueco Niels Fabian Helge von Koch. La curva de copo de nieve es prácticamente la primera curva fractal. Se genera a partir del lado del triángulo tratado como un elemento, dividiéndola en tres partes, cada una de las cuales tiene una longitud 1/3 y añadiendo un triángulo en la posición central.

Se puede observar la progresión de la curva de Koch, que es cerrada.

La propiedad curiosa de la curva de Koch es que tiene una área finita, porque siempre permanece dentro de un círculo, pero en cada etapa de su generación aumenta su lonitud. ¡Es una curva que encierra un área finita pero que tiene una circunferencia infinita!

Otro famoso fractal lleva el nombre del matemático polaco Waclaw Sierpinsky. Se halla sustrayendo triángulos de un triángulo equilátero; y continuando éste proceso hallamos el triángulo de Sierpinsky.

La dimensión fraccionaria

Felix Hausdorff tuvo una forma innovadora de contemplar la dimensión. Tiene que ver con la escala. Si una línea se amplía a la escala por un factor de tres será tres veces más larga de lo que era antes. Como este 3 = 3´ se dice que una línea tiene dimensión 1. Si un cuadrado sólico se amplía a escala por un factor de 3, su área será nueve veces su valor anterior ó 3 ,y por consiguiente la dimensión será 2. Si un cubo se amplía a escala por éste factor, su volúmen será 27 ó 3³ veces su valor anterior, de modo que su dimensións será 3. Todos estos valores de la dimensión de Hausdorff coniciden con las expectativas que tenemos para una línea, cuadrado o cubo.

Si la unidad básica de la curva de Koch se amplía a escala por 3 se hace cuatro veces más larga que antes. Siguiendo el esquema descrito, la dimensión de Hausdorff es el valor de D por el cual 4 = 3^D.

La dimensión de Hausdorff isnpiró la definción de fractal que realizó Mandelbrot: un conjunto de puntos cuyo valor de D no es un número entero. La dimensión fraccionaria se convirtió en la propiedad fundamental de los fractales.

Las aplicaciones de los fractales

El potencial para las aplicaciones de los fractales es amplio. Los fractales bien podrían ser el medio matemático que modela objetos naturales tales como el crecimiento de las plantas o la formación de la nubes.

Los fractales ya se han aplicado al crecimiento de organismos marinos, como los corales y las esponjas. Se han demostrado que la extensión de las ciudades modernas tiene una similitud con el crecimiento fractal. En medicina, se han hallado aplicaciones en el modelado de la actividad cerebral.