CURSO  DE ALGEBRA

Queridos-estudiantes, 

Reciban un cordial saludo, así mismo le damos la bienvenida a este nuevo año 2015, esperando que sea un año muy benéfico para todos, les deseo lo mejor de lo mejor a ustedes y a sus familias.

 En inmediato continuaremos con las lecciones que faltan para concluir el curso.

                              

¡Animo ya falta poco, estamos en la recta final!

!FELICIDADES ES UNA NUEVA OPORTUNIDAD PARA COMENZAR!

Norma Azucena Herrera Carbajal

¿Malo en matemáticas? Adivina de quién es la culpa...

La dificultad de aprendizaje de esta materia se podría deber a la falta de una hormona que se transfiere durante el embarazo

 

Para muchos niños las matemáticas han sido un monstruo que difícilmente pudieron derrotar en el colegio. Si nunca fuiste bueno en este curso, a pesar de que intentaste de todo para lograrlo: tutores, repasos y clases extras, puede que no haya sido completamente tu culpa, sino la de alguien más: tu madre.

Según un estudio realizado el Centro Médico de la Universidad VU en Amsterdam, bajos niveles de una hormona llamada tiroxina, la cual es transferida a través de la madre durante el embarazo, provoca que las personas nazcan con el doble de probabilidades de tener problemas al aprender aritmética, recoge "Daily Mail".

Para llegar a esta conclusión, un grupo de trabajo estudió a casi 1.200 niños desde que estaban en el vientre materno hasta  su etapa escolar. Primero registraron sus niveles de tiroxina durante 12 semanas del embarazo. Cuando los niños crecieron, compararon sus resultados en pruebas de aritmética y lenguaje con el nivel de hormonas durante su gestación.

Al finalizar el estudio se encontró que los niños con menor nivel de tiroxina tenían 90% más probabilidades de obtener notas bajas en matemáticas durante su etapa escolar.

CÓMO AUMENTAR LA TIROXINA

Si luego de leer la primera parte, estuvo pensando de qué manera puede aumentar esta hormona en su organismo, pues no se preocupe.

Existen suplementos en forma de tabletas que se les recomienda tomar a las mujeres en las primeras cuatro semanas del embarazo, ya que esta hormona es esencial para el completo desarrollo del cerebro.

Otra de las soluciones es el consumo de yodo durante el embarazo, aproximadamente de 100 a 150 microgramos al día. Ya que este elemente es esencial para la producción de la hormona, y puede encontrarse en alimentos como la leche y el pescado.

La investigación fue presentada ante la Sociedad Europea para la reunión anual de Endocrinología Pediátrica en Irlanda.

Aritmética 1 (2ª parte)

Clasificación de los sistemas de numeración

Los sistemas de numeración pueden clasificarse en tres grupos que son:

=> S. Numeración No-posicionales.

=> S. Numeración Semi-posicionales.

=> S. Numeración posicionales.

En los sistemas no-posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no depende de la posición (columna) que ocupan en el número.

Por ejemplo, el sistema de numeración egipcio es no posicional, en cambio el babilónico es posicional. Las lenguas naturales poseen sistemas de numeración posicionales basados en base 10 ó 20, a veces con subsistemas de cinco elementos. Además, en algunas pocas lenguas los numerales básicos a partir de cuatro tienen nombres basados en numerales más pequeños.

 Sistema de numeración No-posicionales.

Estos son los más primitivos se usaban por ejemplo los dedos de la mano para representar la cantidad cinco y después se hablaba de cuántas manos se tenía. También se sabe que se usaba cuerdas con nudos para representar cantidad. Tiene mucho que ver con la coordinabilidad entre conjuntos. Entre ellos están los sistemas el antiguo Egipto, el sistema de numeración romana, y los usados en Mesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos.

En los sistemas no-posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no depende de la posición (columna) que ocupan en el número.

Entre ellos están los sistemas el antiguo Egipto, el sistema de numeración romana, y los usados en Mesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos.

El sistema del antiguo Egipto.

Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema de escribir los Números en base diez utilizando los geroglíficos de la figura para representar los distintos órdenes de unidades.

El sistema Romano. El sistema de numeración romana se desarrolló en la antigua Roma y se utilizó en todo su imperio. Es un sistema de numeración no posicional, en el que se usan algunas letras mayúsculas como símbolos para representar los números.

Los romanos desconocían el cero, introducido posteriormente por los árabes, así que no existe ningún símbolo en el sistema de numeración romano que represente el valor cero.

 Sistema de numeración Semi-posicionales.

Sistema de los números romanos no es estrictamente posicional. Por esto, es muy complejo diseñar algoritmos de uso general (por ejemplo, para sumar, restar, multiplicar o dividir). Como ejemplo, en el número romano XCIX (99 decimal) los numerales X (10 decimal) del inicio y del fin de la cifra equivalen siempre al mismo valor, sin importar su posición dentro de la cifra.

 Sistema de numeración Posicionales.

En los sistemas de numeración ponderados o posicionales el valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el número.

El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración posicional tiene base b significa que disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y que b unidades forman una unidad de orden superior. Cuando contamos hasta 99, hemos agotado los símbolos disponibles para las dos columnas; por tanto si contamos (sumamos) una unidad más, debemos poner a cero la columna de la derecha y sumar 1 a la de la izquierda (decenas). Pero la columna de la izquierda ya ha agotado los símbolos disponibles, así que la ponemos a cero, y sumamos 1 a la siguiente columna (centena). Como resultado nos queda que 99+1=100.

Como vemos, un sistema de numeración posicional se comporta como un cuentakilómetros: va sumando 1 a la columna de la derecha y, cuando la rueda de esa columna ha dado una vuelta (se agotan los símbolos), se pone a cero y se añade una unidad a la siguiente columna de la izquierda.Pero estamos tan habituados a contar usando el sistema decimal que no somos conscientes de este comportamiento, y damos por hecho que 99+1=100, sin pararnos a pensar en el significado que encierra esa expresión.Entre esos sistemas posicionales se encuentran:De base 2 Sistema Binario, de base 8 sistema Octal y el de base 16 sistema hexadecimal. También los antiguos mayas tuvieron un sistema de numeración posicional el cual ya no se usa.El sistema decimal, es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez, por lo que se compone de diez cifras diferentes: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de símbolos se denomina números árabes, y es de origen indú.Es el sistema de numeración usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo hay ciertas técnicas, como por ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método de trabajo como el binario o el hexadecimal.El sistema decimal es un sistema de numeración posicional, por lo que el valor del dígito depende de su posición dentro del número. Así:

Los fines de la matemática

La    matemática tiene un fin  triple.    Primero,  proporcionar un instrumento para el estudio de la naturaleza. Pero esto no es todo.    Tiene también un fin filosófico y un fin estético .  Los buenos conocedores de la matemática encuentran en ella placeres comparables a los que proporcionan la pintura y la música. Admiran la delicada armonía de los números y de las formas. Se maravillan cuando un nuevo descubrimiento abre una nueva perspectiva. 

¿Y no es estético este placer, aunque los sentidos no participen en él? (Poincaré)

                                                                    El fin del mundo

 

    Entre las numerosas leyendas que la antigüedad nos ha legado sobre el fin del mundo la brahmánica (relacionada con la "torres de Hanoi" resulta especialmente curiosa:

 En el gran templo de Benarés, bajo la cúpula que señala el centro del Mundo reposa una bandeja de cobre en la que están plantadas tres agujas de diámetro más fino que el aguijón de una abeja. En el momento de la Creación, Dios colocó en una de las agujas 64 discos de oro puro ordenados por tamaño: desde el mayor que rebosa sobre la bandeja hasta el más pequeño, en lo más alto del montón. Es la torre de Brahma. Incansablemente, día tras día, los sacerdotes del templo mueven los discos haciéndoles pasar de una aguja a otra, de acuerdo con las leyes fijas e inmutables de Brahma que dictan que el sacerdote en ejercicio no mueva más de un disco al día, ni lo sitúe encima de un disco de menor tamaño. El día en que los 64 discos hayan sido trasladados desde la aguja en que Dios los puso al crear el mundo a una cualquiera de las otras dos agujas, ese día la Torre, el Templo y, con gran estruendo, el Mundo desaparecerán.

Alberto Coto: amante de los números

El asturiano Alberto Coto es la persona más rápida del mundo haciendo cálculos mentales y, según se pudo comprobar ayer en Santander, también haciendo amigos. En pocos minutos consiguió que los compradores más compulsivos de El Corte Inglés olvidaran sus mercancías y se pusieran a hacer raíces cúbicas, sumas, multiplicaciones y todas las operaciones que más odiaban en sus tiempos escolares. Entre las escaleras metálicas del centro comercial, cajas registradoras y estanterías repletas de productos gastronómicos cántabros, Coto levantó durante casi dos horas la sonrisa de los más acérrimos detractores de las Matemáticas.

Sin perder el buen humor, y con un gran desparpajo, “adivinó” el día de la semana en que habían nacido los presentes que quisieron confesar su fecha de nacimiento y demostró que es más veloz sumando y multiplicando que las máquinas calculadoras que portaban algunos de los presentes. Y es que este joven, doble campeón del mundo en Cálculo, y dos veces Récord Guinness, se ha propuesto demostrar que las Matemáticas son mucho más divertidas de lo que se piensa. Y, por ello, no dudó en mostrar sus “trucos” al público que salió encantado con las fórmulas desveladas para hacer estas operaciones más sencillas.

Pero si la demostración fue fascinante, mucho más lo es su biografía. Descubrió su pasión por el Cálculo de niño, cuando comprobó lo útil que era para ganar al tute, y se dio cuenta de lo bien que se le daba cuando vio, en el famoso programa de televisión “Qué apostamos”, que tardaba en calcular bastante menos que el concursante ganador. Desde entonces, ha hecho de los números una profesión y, aunque se licenció en Ciencias del Trabajo y su trabajo habitual es el de contable, se considera un “calculista ultrarrápido”.

Acude regularmente a programas de radio y televisión para hacer sus demostraciones y, sobre todo, a colegios y centros escolares para que los niños vean que las Matemáticas no son tan terribles. También escribe libros, el segundo de ellos, “Entrenamiento mental al cuadrado”.

Aplicación de mucha matemática en un número: 153

Para aquellos que les gusten las matemáticas, pues también encontramos curiosidades en las Matemáticas, una es el número 153:

1.- Es el número más pequeño que puede ser expresado como la suma de los cubos de sus dígitos:

153 = 13 + 53 + 33

2.- Es igual a la suma de los factoriales de los números del 1 al 5:

153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5!

3.- La suma de sus dígitos es un cuadrado perfecto:

1 + 5 + 3 = 9 = 32

4.- La suma de sus divisores (excluyendo al propio número) también es un cuadrado perfecto:

1 + 3 + 9 + 17 + 51 = 81 = 92

Además, como se puede ver, es el cuadrado de la suma de sus dígitos.

5.- Dando la vuelta a las cifras de 153 obtenemos el 351. Si los sumamos obtenemos 504, que cumple que su cuadrado es el número más pequeño que puede ser expresado como el producto de dos números diferentes cuyas cifras están invertidas:

153 + 351 = 504
5042 = 288 · 882

6.- Puede ser expresado como la suma de todos los números enteros del 1 al 17:

153 = 1 + 2 + 3 + 4 +…+ 15 + 16 + 17
Esto significa que 153 es el decimoséptimo número triangular. Como su inverso, 351, también es un número triangular (suma del 1 hasta el 26) podemos decir que 153 es un número triangular invertible.

7.- Es un número de Harshad (o número de Niven), es decir, es divisible por la suma de sus dígitos:

153/(1 + 5 + 3) = 17
Como 351 también es un número de Harshad podemos decir que 153 es un número de Harshad invertible .
Los números de Harshad fueron definidos por el matemático indio D. R. Kaprekar.

8.- Puede ser expresado como el producto de dos números formados por sus dígitos:

153 = 3 · 51

9.- El número 135, formado por una recolocación de los dígitos de 153, puede ser expresado de esta curiosa forma:

135 = 11 + 32 + 53

10.- La suma de todos los divisores de 153 es 234:

1 + 3 + 9 + 17 + 51 + 153 = 234
El producto de todos los divisores de 153 excepto el propio número es 23409:
1 · 3 · 9 · 17 · 51 = 23409

Y vemos que 23409 está formado por 234, que es la suma de todos los divisores de 153, y por 09, que es la raíz cuadrada de la suma de todos los divisores de 153 excepto el propio número (ver 4.-).

11.- Tomemos un número múltiplo de 3, elevemos al cubo cada una de sus cifras y sumemos esos cubos. Repitamos el proceso con el resultado obtenido. Al final llegaremos al 153. Veamos un ejemplo con el número 1011:

13 + 03 + 13 + 13 = 3
33 = 27
23 + 73 = 351
33 + 53 + 13 = 153

Podemos decir que a partir del 1011 alcanzamos el 153 con 4 ciclos y podemos representarlo así:

1011–>3–>27–>351–>153

Todos los números menores de 10000 llegan con este procedimiento al 153 en, como máximo, 13 ciclos. El número más pequeño que necesita 13 ciclos es el 177:

177–>687–>1071–>345–>216–>225–>141–>
–>66–>432–>99–>1458–>702–>351–>153

12.- La sumas de las potencias 0, 1 y 2 de sus dígitos es igual al producto de ellos:

10 + 51 + 32 = 1 · 5 · 3

13.- Si π(x) (Pi(x)) representa el número de primos que hay menores que x, se cumple lo siguiente:

π(153) = π(15) · 3! (Pi(153) = Pi(15) · 3!)

14.- En 6.- hemos visto que 153 es el número triangular número 17. Trabajemos con su inverso:

1/153 = 0,006535947712418300653594…

Vemos que es periódico de período 0065359477124183. Quitemos los dos ceros y consideremos el resto. Unamos esta información con la posición que ocupa el 153 entre los números triangulares, la 17. Multipliquemos ahora esa parte del período por los sucesivos múltiplos de 17. Obtenemos lo siguiente:

65359477124183 · 17 = 1111111111111111
65359477124183 · 34 = 2222222222222222
65359477124183 · 51 = 3333333333333333
65359477124183 · 68 = 4444444444444444
65359477124183 · 85 = 5555555555555555
65359477124183 · 102 = 6666666666666666
65359477124183 · 119 = 7777777777777777

Resuelve raíz decimotercera de un número de 200 dígitos en 70 segundos

El francés Alexis Lemaire, de 27 años, volvió a derrotar a las calculadoras más avanzadas y quebró el martes en Londres su propio récord, al resolver la raíz decimotercera de un número de 200 dígitos en sólo 70 segundos.

En una prueba desarrollada en el Museo de Ciencias de Londres, el atleta matemático calculó la raíz decimotercera de un número de 200 dígitos con sólo el poder de su cerebro en apenas 70,2 segundos, quebrando su récord anterior de 72,4 segundos.

Lemaire, que realiza un doctorado sobre inteligencia artificial en la Universidad de Reims (noreste de Francia), calculó correctamente la cifra de 2.407.899.893.032.210, entre las 393 trillones de respuestas posibles.

Ese número (2 trillones, 407 billones, 899.893 millones, 32.701) multiplicado por sí mismo 13 veces produce el gigantesco número de 200 dígitos que fue escogido aleatoriamente por una computadora.

“Se sentó y todo el mundo guardó silencio. Luego, súbitamente, anunció la respuesta”, relató Jane Wess, responsable de matemáticas del museo de Ciencias de Londres. “Creo que ésta es la suma más alta que jamás haya sido calculada mentalmente”, afirmó la experta.

Aritmética 1

Aritmética 1

Sistema decimal de numeración

El sistema de numeración decimal, también llamado sistema decimal, es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del número diez. El conjunto de símbolos utilizado (sistema de numeración arábiga) se compone de diez cifras:

 cero (0)- uno (1)- dos (2) - tres (3)- cuatro (4)- cinco (5)- seis (6)- siete (7)- ocho (8) y nueve (9).

Excepto en ciertas culturas, es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo hay ciertas técnicas, como por ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método del binario o el hexadecimal.

Clases y órdenes

Las cifras se agrupan en órdenes y cada tres órdenes forman una clase.

MILLONES			MILES			UNIDADES
9º	8º	7º	6º	5º	4º	3º	2º	1º
Centena de millón	Decena de millón	Unidad de millón	Centena de mil	Decena de mil	Unidad de mil	Centena	Decena	Unidad

Valor de posición

El valor de posición de una cifra en un número depende del lugar o posición que ocupa dicha cifra.

4. 7 4 2

4: decena: 40 unidades

4: unidad de millar = 4.000 unidades

Descomposición polinómica de números

La descomposición polinómica de un número es la que expresa dicho número como suma de sus órdenes de unidades.

475.624= 4 CM + 7 DM + 5 UM + 6 C + 2 D + 4 U = 400.000 + 70.000 + 5.000 + 600 + 20 + 4 = 4 x 100.000 + 7 x 10.000 + 5 x 1.000 + 6 x 100 + 2 x 10 + 4.

Números romanos

Los romanos usaban siete letras mayúsculas para escribir los números. Cada letra tenía un valor numérico.

I	V	X	L	C	D	M
1	5	10	50	100	500	1000

Los romanos escribían números combinando las letras, siguiendo estas reglas:

Regla de la suma. Una letra escrita a la derecha de otra de igual valor o mayor, le suma a esta su valor. LX = 50 + 10 = 60

Regla de la resta. Las letras I, X y C escritas a la izquierda de cada una de las dos letras de mayor valor que le siguen, le restan a esta su valor. XL = 50 – 10 = 40

Regla de la repetición. Las letras I, X, C y M se pueden repetir tres veces como máximo. Las letras V, L y D no se pueden repetir. XXX = 30

Regla de la multiplicación. Una raya encima de una letra o un grupo de letras multiplica por mil su valor. Se utiliza para escribir números mayores que 4.000.

Ejercicios:

Preguntas

1. Representa dibujando un ábaco y haz la descomposición de los siguientes números. Comprueba tu resultado activando la casilla "Mostrar descomposición":
1. 23.785
2. Treinta mil cuatrocientos veinte.
3. 1.340
2. Escribe el número que se corresponde con cada una de las siguientes descomposiciones. Comprueba tus resultados con la aplicación:
1. 7x10.000 + 5x1.000 + 6x100 + 5x10 + 7
2. 3x10.000 + 8x1.000 + 3x10 + 3
3. 2x10.000 + 5x100 + 3x10 + 8

3.  Utiliza la aplicación como creas oportuno para completar la siguiente tabla:

Número	DM	UM	C	D	U
21.756
	4	7	5	1	1
5.108
	5	0	3	0	0
	0	3	1	9	2

PRODUCTOS NOTABLES

Son aquellos que se pueden resolver (con ciertas reglas) por simple inspección a través de ciertas reglas, sin necesidad de efectuar el producto. 

1.- BINOMIO AL CUADRADO 

regla:
1) el cuadrado del primer termino
2) mas o menos el doble del producto del primer termino por el segundo
3) mas el cuadrado del segundo termino.

                       Ejemplo:
                          2
desarrollar (a+b) =
        2          2
1) (a)  =  a


2)  2 (a)  (b) =  2 ab

        2         2
3) (b)  = b

finalmente le resultado es :
        2          2                        2
(a+b)   = a  + 2 ab +  b