Practiquemos la diferencia de cuadrados

EJEMPLO:

x² - 9 = (x + 3).(x -3)

x     3

Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases".

EXPLICACIÓN: Es una resta de dos términos que son cuadrados.

x² es el cuadrado de x

9 es el cuadrado de 3

1) "Bajo las bases", como hacía en el Tercer Caso. Las bases son: x y 3

(¿qué son las bases?). Esto es simplemente una anotación, y no forma parte de la factorización. Pero es mejor ponerlo, para que el profesor vea que entendemos lo que estamos haciendo.

2) Pongo esas bases sumando y restando, entre paréntesis y multiplicándose. El resultado de la factorización es entonces:

(x + 3).(x - 3)         SUMA POR RESTA DE LAS BASES

Es decir: "Las bases sumadas, multiplicado por la bases restadas".

¿Por qué cuando bajé las bases no puse "x - 3"?

Algunos alumnos suelen bajar las bases de esa manera: le ponen el signo menos a la segunda base. Eso no tiene sentido. Porque en realidad, lo que nosotros estamos bajando son dos valores, dos números naturales ("sin signo"), que luego vamos a poner sumando y restando. No tiene sentido pensar que alguno de esos números es negativo. En este Caso, tenemos que pensar a las sumas y restas como operaciones con números que no tienen signo.
Es verdad que el -3 también es base de 9, y que -x también es base de x², pero nadie lo pone por eso. Ese "menos", los alumnos lo ponen porque arriba también hay un "menos", y se confunden.

¿Por qué no tomo como bases a -x o a -3?

Decía en el punto anterior que -3 también es base de 9, porque (-3)² da 9. Lo mismo con -x. Alguien podría decir: "¿por qué no elijo alguna o las dos bases negativas?". Y respecto a este asunto, recordemos que en el Tercer Caso pasaba lo mismo, y así comentamos que los ejercicios del Tercer Caso tienen dos soluciones posibles a causa de ello.

 En este Caso, aunque eligiéramos alguna o las dos bases negativas, llegaríamos siempre al mismo resultado. Es decir que este Caso tiene un sólo resultado posible. Como curiosidad, voy a probar una de las posibilidades:

Lo voy a hacer eligiendo la primera base como negativa (-x):

x² - 9 = (-x + 3).(-x - 3) 

-x    3

¿Qué pasó?: Dió (-x + 3).(-x - 3), que aparentemente es diferente a (x + 3).(x - 3). Pero no son diferentes. Son iguales. Obviamente son iguales. Si aplico la Propiedad Distributiva en ambos, el resultado es x² - 9. Si así no fuera, estaría mal aplicado el Caso, no se podría factorizar así. Pero sospechamos que sí se puede, por el hecho de que -x también es base de x², ya que (-x)² es igual a x².
Como no se ven iguales esos resultados, voy a tratar de llegar desde (-x + 3).(-x - 3) hasta (x + 3).(x - 3), usando operaciones y/o propiedades válidas: 

1) (-x + 3).(-x - 3) es igual a (-x + 3).[-(x + 3)]

En el paso anterior, reemplazé a (-x - 3) por -(x + 3). Porque esos dos polinomios son iguales. (-x - 3) es el opuesto de (x + 3). Es decir que (-x - 3) es igual a -(x + 3). (No voy a explicar eso. Esta exposición es sólo para quiénes ya saben este tipo de cosas).

 

2) Pero (-x + 3).[-(x + 3)] es igual a -(x - 3).[-(x + 3)]

En el paso precedente, reemplacé a (-x + 3) por -(x - 3). Ya que esos polinomios son iguales, por la misma razón que los otros en el paso 1).

 

3) Pero resulta que -(x - 3).[-(x + 3)] es igual a (x - 3).(x + 3). Porque ambos binomios tienen un signo menos adelante. Y "menos por menos, más".

Lo que tenemos aquí es algo así como: (-5).(-6). Eso da 30. Da lo mismo que 5.6. Entonces (-5).(-6) es igual a 5.6. Eso mismo es lo que hice con -(x - 3).[-(x + 3)] y (x - 3).(x + 3). Nótese que sólo le quité los signos menos que tienen delante.

 

4) Y por último, (x - 3).(x + 3) es igual a (x + 3).(x - 3), por la Propiedad Conmutativa de la multiplicación.

En los puntos anteriores pude entonces mostrar cómo, eligiendo una base negativa, el resultado de la factorización es el mismo. Porque si bien tiene "otra forma", es equivalente a (x + 3).(x - 3)

Con las otras posibilidades habría que hacer lo mismo: Se puede hacer con -3, y también con -x y -3. De la misma manera, "sacando los signos adelante" de los binomios, se puede luego demostrar que todos los resultados son expresiones equivalentes a (x + 3).(x - 3).