CONTINUACION TEOREMA DEL BINOMIO

CONTINUACION TEOREMA DEL BINOMIO

 

Nota muy importante para el desarrollo del binomio este triángulo de pascal es solo para valores enteros, los números negativos de n  no podrán ser desarrollados.

A este tipo de números los vamos a llamar coeficientes binomiales, este nombre se le da por que son los coeficientes del binomio a la n potencia, como podemos observar dado que cada renglón, ya que el primer y último elemento es el numero 1 esto se debe a que los coeficientes del primer y último término van ser iguales a 1.

Se sabe que cada elemento lo vamos a poder obtener como la suma de los dos elementos que se ubican a su izquierda y derecha en el renglón de la parte de arriba. Por ejemplo para el exponente n=6, el segundo coeficiente será el numero 6 ya que este será la suma de los elementos 1 y 5 ya que estos se ubican en la parte izquierda y derecha en el renglón de la parte superior; y también el tercer coeficiente será el numero 15 este lo vamos a obtener de la misma manera como ya sabemos que la suma de los dos elementos siguientes que son los elementos 5 y 10 del renglón superior, y así vamos a seguir sucesivamente hasta terminar con el desarrollo.

A continuación vamos a desarrollar algunos ejemplos de la teoría anteriormente expuesta.

Resolver mediante el teorema del binomio (y +  2z)^4

Para poder desarrollar este binomio es necesario tener en cuenta el termino n como podemos observar en este caso el termino n es igual a n=4, en este caso vamos a utilizar los coeficientes binomiales con las potencias correspondientes para cada uno de los términos del desarrollo. Todo esto quiere decir.

Desarrollar el siguiente binomio.

(y  + 2z)^4= 1y^4+4(y)^3  (2z)^1+ 6(y)^2 (2z)^2+4(y)^1 (2z)^3+ 1(2z)^4

Llevando acabo la potencialización de cada término, se tiene.

(y  + 2z)^4= 1y^4+ 4y^3  (2z)+ 6y^2 (4z^2)+ (4y) (8z^3)+ 1(16z^4)

Nos dará como respuesta:

(y  + 2z)^4 = y^4 + 8y^3 z + 24y^2z^2 + 32y z^3 + 16z^4  Respuesta

Ejemplo 

Desarrollar el siguiente binomio con el teorema expuesto anteriormente.

Desarrollar(3x – 2b)^4

Para llevar acabo el desarrollo del siguiente binomio, ya que se debe hacer lo siguiente.

(3x – 2b)^4 = 1(3x)^4 + 4(3x)^3(-2y)^1 + 6(3a)^2 (- 2y)^2 + 4(3x)^1(-2y)^3 + 1(-2y)^4

Elevando a las potencias obtenidas.

(3x – 2b)^4 = 1(81x^4) + 4(27x^3) (-2y) + 6(9a^2) (4y^2) + 4(3x)(-8y^3) + (16y^4) 

(3x – 2b)^4= 81x^4 - 216x^3y + 216a^2y^2 + 96xy^3 + 16y^4     Respuesta 

Problemas propuestos acerca del tema expuesto.

(x – b)^6

(9a – 2c)^9

(3y – 2z)^8

 Para mayor informacion acerca del temaexpuesto ver video aquí.