Madurar

Historia de las matematicas

La historia de las matemáticas es el área de estudio que abarca las investigaciones sobre los orígenes de los descubrimientos en matemáticas, de los métodos matemáticos, de la evolución de sus conceptos y también en cierto grado, de los matemáticos involucrados. El surgimiento de la matemática en la historia humana está estrechamente relacionado con el desarrollo del concepto de número, proceso que ocurrió de manera muy gradual en las comunidades humanas primitivas. Aunque disponían de una cierta capacidad de estimar tamaños y magnitudes, no poseían inicialmente una noción de número. Así, los números más allá de dos o tres, no tenían nombre, de modo que utilizaban alguna expresión equivalente a "muchos" para referirse a un conjunto mayor.

El siguiente paso en este desarrollo es la aparición de algo cercano a un concepto de número, aunque muy incipiente, todavía no como entidad abstracta, sino como propiedad o atributo de un conjunto concreto.¹ Más adelante, el avance en la complejidad de la estructura social y sus relaciones se fue reflejando en el desarrollo de la matemática. Los problemas a resolver se hicieron más difíciles y ya no bastaba, como en las comunidades primitivas, con solo contar cosas y comunicar a otros la cardinalidad del conjunto contado, sino que llegó a ser crucial contar conjuntos cada vez mayores, cuantificar el tiempo, operar con fechas, posibilitar el cálculo de equivalencias para el trueque. Es el momento del surgimiento de los nombres y símbolos numéricos.

Antes de la edad moderna y la difusión del conocimiento a lo largo del mundo, los ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemáticos salían a la luz solo en unos pocos escenarios. Los textos matemáticos más antiguos disponibles son la tablilla de barro Plimpton 322 (c. 1900 a. C.), el papiro de Moscú (c. 1850 a. C.), el papiro de Rhind (c. 1650 a. C.) y los textos védicos Shulba Sutras (c. 800 a. C.). En todos estos textos se menciona el teorema de Pitágoras, que parece ser el más antiguo y extendido desarrollo matemático después de la aritmética básica y la geometría.

Tradicionalmente se ha considerado que la matemática, como ciencia, surgió con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisión amplia de la matemática en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio.

Las matemáticas egipcias y babilónicas fueron ampliamente desarrolladas por la matemática helénica, donde se refinaron los métodos (especialmente la introducción del rigor matemático en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta ciencia.² La matemática en el islam medieval, a su vez, desarrolló y extendió las matemáticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales. Muchos textos griegos y árabes de matemáticas fueron traducidos al latín, lo que llevó a un posterior desarrollo de las matemáticas en la Edad Media. Desde el renacimiento italiano, en el siglo XV, los nuevos desarrollos matemáticos, interactuando con descubrimientos científicos contemporáneos, han ido creciendo exponencialmente hasta el día de hoy.

Números Imaginarios

¿ES √2 UNA FRACCIÓN?

Esto nos lleva a una de las demostraciones más famosas de las matemáticas. Ésta sigue el método de reductio ad absurdum. En primer lugar, se supone que √2 no puede ser una fracción y no una fracción al mismo tiempo. Esto es lo que en lógica se denomina “ley del término medio excluido”. Así que los griegos supusieron que sí era una fracción y, por lógica estricta en cada paso, derivaron una contradicción, un “absurdo”. Bien, hagámoslo. Supongamos que

                                                                   √2 = m

                                                                            n

También podemos suponer algo más. Podemos suponer que m y n no tienen ningún factor común. Esto no plantea ningún problema, porque si tuvieran factores comunes, estos se podrían cancelar antes de empezar.

 Podemos elevar al cuadrado los dos lados de √2= m/n obteniendo 2 = m²/n² y de ese modo m² = 2n². Aquí es donde hacemos nuestra primera observación: como m² es dos veces algo, tiene que ser un número par. Luego, el propio m no puede ser impar (porque el cuadrado de un número impar es impar), de modo que m también es un número par.

En ésta frase se ejemplifica un absurdo, que en este caso podríamos usar para demostrar la imposibilidad de resucitar.

Hasta aquí, la lógica es impecable. Como m es par, tiene que ser el doble de algo que podemos escribir como m = 2k. Elevar al cuadrado ambos lados de esto significa que m² = 4k². Si combinamos esto con el hecho de que m² = 2n², ello significa que 2n² = 4k² y, al cancelar el 2, llegamos a la conclusión de que n² = 2k². ¡Pero esto ya lo hemos visto! Y, como antes, llegamos a la conclusión de que n² es par y que el propio n es par. Por consiguiente, hemos deducido por lógica estricta que tanto m como n son pares y que, por tanto, tienen un factor de 2 en común. Esto va en contra de nuestra suposición de que m y n no tienen factores comunes. La conclusión, por consiguiente, es que √2 no puede ser una fracción.

También se puede demostrar que ninguno de los números de la secuencia de números √2 (salvo cuando n sea un cuadrado perfecto) puede ser una fracción. Los números que no pueden expresarse en fracciones se denominan números irracionales.

Ésta, así como otras demostraciones matemáticas lleva a un escenario en que se presenta una contradicción, que en este caso, hace repetir de nuevo el mismo procedimiento y llegar al mismo resultado (m y n son pares).

RAÍCES CUADRADAS

(Continuación...)

Si damos la vuelta a la pregunta y deseamos hallar la longitud de un cuadrado que tiene un área dada de 16, la solución es obviamente 4. La raíz cuadrada de 16 es 4 y se escribe como √2. El símbolo para las raíces cuadradas se ha utilizado desde 1500. Todos los números cuadrados tienen como raíces cuadradas bonitos números enteros. No obstante, hay muchos huecos a lo largo de la línea numérica entre estos cuadrados perfectos. 

Entre los cuadrados perfectos, hay huecos en la recta numérica; esos números tienen raíz cuadrada que no se puede representar por un número entero.

Existe una brillante notación alternativa para las raíces cuadradas. Así como x² denota un número cuadrado, podemos escribir la raíz cuadrada de un número como x^1/2, lo que encaja con el mecanismo de multiplicar números entre sí sumando sus potencias. Ésta es la base de los logaritmos, inventados después de que nos enterásemos, en torno a 1600, de que un problema de multiplicación podría cambiarse por uno de adición. Todos estos números tienen raíces cuadradas, pero no representan números enteros.

Una forma diferente de escribir el número 3 usando exponentes fraccionarios.

Examinemos √2. El número 2 tenía una importancia especial para los pitagóricos porque es el primer número par. Si usted calcula √2 en su calculadora, obtendrá 1,414213562, suponiendo que su calculadora ofrezca tantos decimales. ¿Es ésta la raíz cuadrada de 2? Para comprobarlo, realizamos el cálculo 1,414213562 x 1,414213562. Esto resulta ser 1,999999999. Esto no es del todo 2 ya que 1,414213562 es sólo una aproximación a la raíz cuadrada de 2.

Estos números tienen expansiones decimales infinitas, por lo que aunque las calculemos, sólo obtendremos una aproximación a su valor. Por ello, se representan como radicales, o su respectivo símbolo en caso de los trascendentes.

Lo que quizá resulte sorprendente es que ¡nunca llegaremos a obtener más que una aproximación! La expansión decimal de √2 a millones de decimales siempre será solamente una aproximación. El número √2 es importante en las matemáticas, quizá no tan ilustre como π o e, pero lo bastante importante como para tener su propio nombre; a veces se le llama el número pitagórico.

Curiosidad matemática: "LA HORA FELIZ"

10:08 

Las 10:08 es la hora marcada por los relojes en la mayoría de sus anuncios televisivos, aunque este tiempo puede variar entre las 10:08 y las 10:10. Hay varias razones ofrecidas por las compañías de relojes, algunas de ellas psicológicas, pero ninguna de ellas verificable al 100% como el origen de dicha práctica:

·         La forma que dibujan las manillas tiene un efecto positivo en el espectador: forman un tick que comúnmente significa «aceptable» o también  «OK». Algunos espectadores identifican la forma dibujada por las manillas como una sonrisa: :).

·          La posición de las manillas no tapa el posible calendario, normalmente ubicado a las nueve (izquierda) o a las tres (derecha).

·         La posición de las manillas no tapa el logo del fabricante, normalmente ubicado bajo las doce.

·         A las 10:08 el día aún es joven. Tenemos prácticamente casi todo el día por delante para realizar cosas.

·         Las 10 es la hora a la que la gente se suele levantar cuando no tiene que madrugar. Por lo tanto la hora indicada está asociada con el fin de semana, el entretenimiento y la relajación. Hay que decir que no todas las compañías usan esta hora en sus anuncios, pero la mayoría lo hacen.

·         Existe una tradicional regla publicitaria no escrita, según la cual todos los relojes deben señalar las 10:10 cuando son fotografiados para figurar en un anuncio. Pero no es tal hora fruto del capricho, sino de un minucioso análisis estético de la imagen y de su impacto psicológico.

·         Para empezar, no resultan estéticas las horas en las que se superponen las agujas, pues da la impresión de que el reloj tan sólo tiene una. Por ello se eliminan las 12:00, las 13:05, las 14:10, las 15:15 y las demás en que se cumpla esa regla.

·         Por el mismo motivo se rechazan aquellas en las que las agujas estén muy próximas, pues ofrece una sensación de amontonamiento sin sentido al quedar libre el resto de la esfera. Parece que unos diez minutos (60 grados de arco) podría considerarse una distancia de separación mínima. 

·         Tampoco son admisibles las horas en las que las agujas se oponen, pues dan la impresión de ser una sola manecilla que atraviesa la esfera por su centro, cual flecha de cupido atravesando un corazón. Por ello se eliminan las 12:30, las 18:00, las 08:05, las 17:55 y las demás en que se cumpla esa regla. Por la misma razón se rechazan, como en el caso anterior, las horas que estén muy próximas a ese ángulo recto de 180 grados de arco. Y también en este caso los diez minutos parecen corresponderse a una distancia de separación mínima.

·         Tenemos límites “superiores” e “inferiores” que no nos permiten acercar las manecillas a menos de unos diez minutos ni separarlas más de veinte, para mantener cierta “distancia de seguridad” respecto del ángulo nulo y del ángulo plano. Notar que si las separamos más de treinta minutos (más de 180 grados de arco) nos encontramos en la otra mitad en la misma situación.

·         Las 10:10, hora conocida como happy hour por aquello de la sonrisa, es la elegida por cuestiones fotogénicas. Y la costumbre se ha seguido para los modelos analógico a sin importar el modelo, la procedencia o el precio. Aunque algunas marcas intentan dar un toque de originalidad o rebeldía cambiando la hora, pero solo se atreven a cambiarla un poquito como en el caso del Omega que señala las 10:08, o el Pulsar que señala las 10:09. Y aunque la hora no tenga esta justificación en los relojes digitales, se sigue la costumbre en algunos de sus anuncios.

Otra cosa más. Cuando hay segundero señala hacia los 25 o los 35 segundos, porque marcar los 30 -que sería la posición que dividiría el círculo en tres partes iguales- dejaría la imagen algo rígida y este pequeño desvío lateral rompe el dibujo puramente matemático.