Curso de álgebra

Lección 36     Ecuaciones (conceptos)

 

La intensión de resolver las ecuaciones es encontrar sus raíces o soluciones de la ecuación.

Lo primero que hay que saber es que toda ecuación algebraica de grado n con coeficientes reales o complejos tiene al menos una raíz real o compleja. Este enunciado es el teorema fundamental del álgebra.

D'Alembert fue el primer matemático que dio una demostración, pero no era completa. Se considera a Gauss como el primer matemático que dio una demostración rigurosa.

Conceptos básicos:

Igualdad: Es la expresión en la cual se indica que una expresión tiene el mismo valor que otra. La igualdad sólo se cumple para determinados valores de la expresión.

5 + 10 = 3*5 2m +8 = 12

Identidad: Es la expresión en la cual se indica que dos expresiones son iguales para cualquier valor que se ponga en lugar de las letras que figuran en la expresión.

Ecuación: Es la expresión de igualdad condicionada por cantidades conocidas y cantidades desconocidas o incógnitas, que se cumplen únicamente para determinados valores. Las ecuaciones son igualdades. Nunca debemos olvidar esto.

Y -2 = 6 se cumple si Y = 8

3x + 5y = 23y se cumple si x = 6y

Miembros: miembros de una ecuación son las expresiones colocadas a la derecha y a la izquierda del signo igual (=)

3x = 5

donde 3x es el primer miembro y 5 el segundo miembro.

Términos: términos de una ecuación, son cada una de las expresiones que están conectadas con otra por los signos de suma y resta (+, –).

Grado: el grado de una ecuación con una incógnita es el mayor exponente de esa incógnita.

Raíz: se le llama raíz de una ecuación a cualquier valor numérico que al sustituirse por la incógnita satisfaga la ecuación.

3x = 15 la raíz es 5 pues 3(5) = 15 y cumple la condición.

Conjunto solución: es el conjunto de todos los números que satisfacen la igualdad en una ecuación. Es el conjunto de todas las raíces de la ecuación.

3x2 = 12 {2, -2} son el conjunto solución pues ambos cumplen la condición.

Debemos distinguir entre identidades y ecuaciones. Cuando dos expresiones son iguales para cualesquiera valores que se pongan en lugar de las letras que figuran en la expresión es una identidad.

Cuando la igualdad sólo se cumple para determinados valores de la expresión es una ecuación.

Comprobación de ecuaciones: la comprobación se realiza sustituyendo la raíz obtenida en la ecuación original, si ambos miembros dan el mismo resultado se confirma la respuesta.

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