Criterio de divisibilidad
Un número b es
divisible por otro a cuando la división es
exacta.
Criterio de divisibilidad por 2
Un número es divisible por 2, si termina en cero o
cifra par.
Ejemplo:
24, 238, 1 024,...
Criterio de divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos
es múltiplo de 3.
Ejemplo:
564
5 + 6 + 4 = 15
15 es múltiplo de 3
2 040
2 + 0 + 4 + 0 =
6
6 es múltiplo de 3
Un número es divisible por 5, si
termina en cero o cinco.
Ejemplo:
45, 515, 7 525,
230, ...
Un número es divisible por 7 cuando
la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la
cifra de las unidades es 0 ó un múltiplo de 7.
Ejemplo:
343
34 − 2 · 3 = 28
28 es múltiplo de 7
105
10 − 5 · 2 = 0
2 261
226 − 1 · 2 = 224
Se repite el proceso con 224
22 − 4 · 2 = 14
14 es múltiplo de 7
Se repite el proceso con 224
Un número es divisible por 11, si
la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares impares y la
de los pares es 0 o un múltiplo de 11
.
Ejemplo:
121
(1 + 1) − 2 = 0
4224
(4 + 2) − (2 + 4) = 0
Un número es divisible por 4, si
sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.
Ejemplo:
36, 400, 1 028,
...
Un número es divisible por 6, si
es divisible por 2 y por 3.
Ejemplo:
72, 324, 2 400,
...
Un número es divisible por 8, si
sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.
Ejemplo:
4 000,
1 048, 1 512, ...
Un número es divisible por 9, si
la suma de sus dígitos es múltiplo de 9.
Ejemplo:
81
8 + 1 = 9
3 663
3 + 6 + 6 + 3 = 18
18 es múltiplo de 9
Un número es divisible por 10, si
la cifra de las unidades es 0.
Ejemplo:
130, 1 440,
10 230, ...
Un número es divisible por 25, si
sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 25.
Ejemplo:
500, 1 025,
1 875, ...
Un número es divisible por 125,
si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 125.
Ejemplo:
1 000,
1 125, 4 250, ...
para solucionar ejercicios
los números primos del 1 al 1000
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2
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3
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5
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7
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11
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13
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17
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19
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23
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29
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31
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37
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41
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43
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47
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53
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59
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61
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67
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71
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73
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79
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83
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89
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97
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101
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103
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107
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109
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113
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127
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131
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137
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139
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149
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151
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157
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163
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167
|
173
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179
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181
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191
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193
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197
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199
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211
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223
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227
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229
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233
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239
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241
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251
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257
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263
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269
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271
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277
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281
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283
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293
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307
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311
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313
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317
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331
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337
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347
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349
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353
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359
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367
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373
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379
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383
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389
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397
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401
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409
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419
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421
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431
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433
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439
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443
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449
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457
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461
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463
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467
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479
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487
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491
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499
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503
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509
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521
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523
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541
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547
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557
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563
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569
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571
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577
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587
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593
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599
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601
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607
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613
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617
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619
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631
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641
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643
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647
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653
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659
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661
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673
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677
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683
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691
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701
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709
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719
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727
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733
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739
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743
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751
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757
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761
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769
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773
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787
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797
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809
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811
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821
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823
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827
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829
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839
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853
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857
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859
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863
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877
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881
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883
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887
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907
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911
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919
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929
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937
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941
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947
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953
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967
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971
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977
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983
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991
|
997
|
Ejemplos:
¿El 12 es primo? No, porque se puede dividir exactamente por 3 y 4 (3×4=12).
¿El 73 es primo? Sí, sólo
se puede dividir por 73 y 1.
Factorización en primos
"Factorizar en primos" es averiguar qué numeros primos tienes que multiplicar juntos para obtener
el número original.
Ejemplo 1
¿Cuáles son los factores primos de 12?
Es mejor empezar por el número primo más pequeño, que es 2, así
que comprobamos:
12 ÷ 2
= 6
Pero 6 no es primo así que tenemos que factorizarlo también:
6 ÷ 2 =
3
Y 3 es primo, así que:
12 = 2
× 2 × 3
Como ves, cada factor es un número primo, así
que la respuesta es correcta - la factorización en primos de 12 es 2 × 2 × 3,
también podemos escribir 22 × 3
Ejemplo 2
¿Cuál es la factorización en primos de 147?
¿Podemos dividir 147 exactamente entre 2? No, así que probamos con
el siguiente número primo, 3:
147 ÷ 3
= 49
Ahora intentamos factorizar 49, y vemos que 7 es el primo más
pequeño que funciona:
49 ÷ 7
= 7
Y con esto terminamos, porque todos los factores son números
primos.
147 = 3
× 7 × 7 = 3 × 72
¿Por qué?
Un número primo sólo se puede dividir por 1 y por sí mismo, ¡así
que no se puede factorizar más!
Los demás números se pueden descomponer en factores primos.
Así que, de cierta manera, los números primos son los ladrillos
con los que se hacen los otros números.
Y sólo hay un conjunto (¡único!) de factores primos para cada
número.
Ejemplo:
los factores primos de 330 son 2, 3, 5 y 11. No hay otra combinación de primos
que dé 300 al multiplicarla.
De hecho esta idea es tan importante que se la llama teorema de factorización única, y
también Teorema
fundamental de la Aritmética. ¡Wow!
Criptografía
De hecho la factorización en primos es muy importante para la
gente que intenta hacer (o romper) códigos secretos basados en números. Si
quieres saber más, el tema se llama "encriptación" o
"criptografía".
Otro método
Te hemos enseñado como calcular la factorización empezando por el
primo más pequeño y subiendo, pero a veces es mejor descomponer un número como
podamos en factores, y luego descomponer esos factores.
Ejemplo:
¿Cuáles son los factores primos de 90?
Descompón
90 en 9 × 10
·
Los factores primos de 9 son 3
y 3
·
Los factores primos de 10 son 2
y 5
Así que
los factores primos de 90 son 3,3, 2
y 5
Herramienta de factorización en primos
OK, tenemos otro método... usar nuestra herramienta de
factorización en primos que
puede calcular los factores primos.
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