¿ES √2 UNA FRACCIÓN?

Esto nos lleva a una de las demostraciones más famosas de las matemáticas. Ésta sigue el método de reductio ad absurdum. En primer lugar, se supone que √2 no puede ser una fracción y no una fracción al mismo tiempo. Esto es lo que en lógica se denomina “ley del término medio excluido”. Así que los griegos supusieron que sí era una fracción y, por lógica estricta en cada paso, derivaron una contradicción, un “absurdo”. Bien, hagámoslo. Supongamos que

                                                                   √2 = m

                                                                            n

También podemos suponer algo más. Podemos suponer que m y n no tienen ningún factor común. Esto no plantea ningún problema, porque si tuvieran factores comunes, estos se podrían cancelar antes de empezar.

 Podemos elevar al cuadrado los dos lados de √2= m/n obteniendo 2 = m²/n² y de ese modo m² = 2n². Aquí es donde hacemos nuestra primera observación: como m² es dos veces algo, tiene que ser un número par. Luego, el propio m no puede ser impar (porque el cuadrado de un número impar es impar), de modo que m también es un número par.

En ésta frase se ejemplifica un absurdo, que en este caso podríamos usar para demostrar la imposibilidad de resucitar.

Hasta aquí, la lógica es impecable. Como m es par, tiene que ser el doble de algo que podemos escribir como m = 2k. Elevar al cuadrado ambos lados de esto significa que m² = 4k². Si combinamos esto con el hecho de que m² = 2n², ello significa que 2n² = 4k² y, al cancelar el 2, llegamos a la conclusión de que n² = 2k². ¡Pero esto ya lo hemos visto! Y, como antes, llegamos a la conclusión de que n² es par y que el propio n es par. Por consiguiente, hemos deducido por lógica estricta que tanto m como n son pares y que, por tanto, tienen un factor de 2 en común. Esto va en contra de nuestra suposición de que m y n no tienen factores comunes. La conclusión, por consiguiente, es que √2 no puede ser una fracción.

También se puede demostrar que ninguno de los números de la secuencia de números √2 (salvo cuando n sea un cuadrado perfecto) puede ser una fracción. Los números que no pueden expresarse en fracciones se denominan números irracionales.

Ésta, así como otras demostraciones matemáticas lleva a un escenario en que se presenta una contradicción, que en este caso, hace repetir de nuevo el mismo procedimiento y llegar al mismo resultado (m y n son pares).