NÚMEROS PERFECTOS IMPARES Y NÚMEROS DE MERSENNE

Trabajos de construcción

Una combinación del trabajo de Euclides y el de Euler proporciona una fórmula que permite generar números perfectos pares: n es un número perfecto par sí y solamente si n = 2^p-1(2^p-1) donde 2^p-1 es un primo de Mersenne.

Por ejemplo,  6 = 2¹(2²-1), 28 = 2²(2³-1) y 496 = 2⁴(2⁵-1). Esta fórmula para calcular números perfectos pares significa que podemos generarlos si podemos hallar los primos de Mersenne. Los números perfectos han supuesto un reto tanto para las personas como para las máquinas y continuarán haciéndolo de una manera que no habían previsto los matemáticos del pasado.

En la imagen se puede observar la sucesión de los primeros números primos de Mersenne.

El creador de tablas Peter Barlow, escribiendo a comienzos del siglo XIX, creía que nadie iría más allá del cálculo del número perfecto de Euler 2³⁰(2³¹-1) = 2,305,843,008,139,952,128 porque no tenía mucho sentido hacerlo. No podía prever la potencia de los ordenadores modernos y la insaciable necesidad de los matemáticos enfrentarse a nuevos desafíos.

Números perfectos impares

Nadie sabe si se hallará alguna vez un número perfecto impar. Descartes pensaba que no, pero los expertos pueden equivocarse. El matemático inglés James Joseph Sylvester declaró que la existencia de un número perfecto impar “sería poco menos que un milagro” por las muchas condiciones que éste tendría que cumplir. Es uno de los programas antiguos de las matemáticas, pero, si de veras existe un número perfecto impar, ya se sabe mucho sobre el punto necesitaría tener por lo -8 divisores primos distintos, uno de los cuales mayor de 1 millón, y al mismo tiempo tendrá que tener como mínimo 300 dígitos.

Se desconoce si existen infinitos números perfectos, igual que los números perfectos impares; se trata probablemente del problema irresuelto más antiguo de las matemáticas.

LOS NÚMEROS DE MERSENNE

La clave para construir números perfectos es un grupo de números que elevan el nombre del padre Marín Mersenne. Los números de Mersenne se construyen a partir de las potencia de dos, los números que se van doblando 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256... Y a los que después se sustrae un solo 1. 

Un número de Mersenne es un número que tiene la forma 2ⁿ-1. Aunque siempre son impares, no siempre son primos. Pero son aquellos números de Mersenne que también son primos los que se pueden usar para construir números perfectos.

Éstos números fueron propuestos por Marin Mersenne.

Mersenne sabía que si la potencia no era un número primo, el número de Mersenne tampoco podía ser un número primo, lo que da cuenta de las potencias no primas 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 y 15 de la tabla. Los números de Mersenne sólo podían ser primos si la potencia era un número primo, pero ¿basta con eso? Para los primeros casos, obtenemos 3, 7, 31 y 127, todos los cuales son primos. De modo que, ¿es generalmente cierto que un número de Mersenne tendría que ser también primo?

Potencia	Resultado	Se resta (Número de Mersenne)	¿Número primo?
2	4	3	Primo
3	8	7	Primo
4	16	15	No primo
5	32	31	Primo
6	64	63	No primo
7	128	127	Primo
8	256	255	No primo
9	512	511	No primo
10	1,024	1,023	No primo
11	2,048	2,047	No primo
12	4,096	4,095	No primo
13	8,192	8,191	Primo
14	16,384	16,383	No primo
15	32,768	32,767	No primo

Muchos matemáticos del mundo antiguo pensaban que así era pero los primos no están constreñidos por la simplicidad, y se descubrió que, en el caso de la potencia 11 (un número primo), 2¹¹ – 1 = 2,047 = 23 x 89 y por consiguiente no es un número primo. Parece que no hay ninguna regla. Los números de Mersenne 2¹⁷ – 1 y 2¹⁹ – 1 son ambos, primos, pero 2²³ – 1 no es primo, porque 2²³ – 1 = 8,388,607 = 47 x 178,481.