NÚMEROS PERFECTOS

En las matemáticas la búsqueda de la perfección ha llevado a sus aspirantes a distintos lugares. Hay cuadrados perfectos, pero en ese caso el término no se usa en sentido estético. Se usa más bien para advertirle que existen cuadrados imperfectos. En otra dirección, algunos números tienen pocos visores y algunos tienen muchos. Pero algunos números son sencillamente perfectos. Cuando la suma de los divisores de un número es igual al propio número, se dice que es perfecto.

El filósofo griego Speusipo declaró que los pitagóricos creían que el 10 tenía las credenciales adecuadas para ser perfecto, porque el número de números primos entre uno y 10 (a saber, 2, 3, 5, 7) era igual al de no primos (4, 6, 8, 9) y este era el número más pequeño que tenía esta propiedad.

En realidad, parece que los pitagóricos tenían una concepción más rica de lo que es un número perfecto. Las propiedades matemáticas de los números perfectos fueron esbozadas por Euclides en los elementos y estudiadas a fondo por Nicómaco 400 años después, lo que condujo a los números amigos e incluso a los números sociables. Éstas categorías se definían en términos de las relaciones entre ellos y sus divisores. En algún momento plantearon la teoría de los números superabundantes y deficientes y esto les llevó a su noción de perfección.

Que un número sea superabundante lo determinan sus divisores, y pone de relieve la conexión entre la multiplicación y la suma. Tome el número 30 y piense en sus divisores, es decir, en todos los números por los que es divisible de forma exacta y que son menores de 30. Para un número tan pequeño como 30, podemos ver que los divisores son 1, 2, 3, 5, 6, 10 y 15. Sumando todos estos divisores obtenemos 42. El número 30 es superabundante porque la suma de sus divisores (42) es mayor que el propio número 30.

Un número es deficiente si se da el caso contrario: si la suma de sus divisores es menor que el mismo. Por consiguiente, el número 26 es deficiente porque sus divisores 1, 2 y 13 suman solamente 16, que es menos de 26. Los números primos son muy deficientes porque la suma de sus divisores siempre es solamente 1.

Un número que no es superabundante ni deficiente, es perfecto. La suma de los divisores de un número perfecto es igual al propio número. El primer número perfecto es seis. Sus divisores son 1, 2, 3 y cuando lo sumamos obtenemos 6. Los pitagóricos estaban tan encantados con el número seis y con la forma en la que sus partes encajaban juntas que lo llamaron matrimonio, salud y belleza.

En los números perfectos, la suma de sus divisores es igual al propio número.

El siguiente número perfecto es 28. Sus divisores son 1, 2, 4, 7 y 14 y, cuando lo sumamos, obtenemos 28. Estos dos primeros números perfectos, 6 y 28, son bastante especiales en la ciencia de los números perfectos ya que puede demostrarse que todo número perfecto par acaba en 6 o en 28. Después de 28 hay que esperar hasta 496 para dar con el siguiente número perfecto. Es fácil comprobar si realmente la suma de sus divisores: 496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248. Para dar con los siguientes números perfectos tenemos que empezar a entrar en la estratosfera numérica. Los primeros cinco se conocían en el siglo XVI, pero todavía no sabemos si hay uno que sea el mayor de todos, o si siguen avanzando sin límite. La opinión general sugiere que, al igual que los primos, prosiguen eternamente.

A los pitagóricos les encantaba las conexiones geométricas. Si tenemos un número perfecto de cuentas esféricas, estas pueden disponerse en torno a un collar hexagonal. En el caso del seis este es el hexágono simple con cuentas colocadas en sus esquinas, pero en los casos de números perfectos más elevados tenemos que añadir subcollares más pequeños dentro del grande.

Las conexiones geométricas eran muy usadas por los pitagóricos.