CUADRADOS Y RAÍCES CUADRADAS

Si a ti te gusta hacer cuadrados con puntos, tus patrones de pensamiento son similares a los de los pitagóricos. Esta actividad era apreciada por la hermandad que seguía a su líder Pitágoras, un hombre al que se recuerda, sobre todo, por “aquel teorema”.

Números cuadrados perfectos.

 

Si contamos los puntos, vemos que el primer cuadrado de la izquierda está hecho de un solo punto. Para los pitagóricos, el 1 era el número más importante, y estaba imbuido de existencia espiritual. Así que tenemos una buena base. Si seguimos sumando los puntos que hay en los siguientes cuadrados obtenemos los números “cuadrados” 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64… Éstos se llaman cuadrados perfectos. Los pitagóricos no se limitaron a los cuadrados. Se plantearon otras formas, como los triángulos, los pentágonos y otras formas poligonales.

Los números triangulares recuerdan a un montón de piedras. Al contar estos puntos obtenemos 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36… Si se desea calcular un número triangular, se puede usar el anterior y sumar el número de puntos que hay en la última fila. ¿Cuál es el número triangular que va después de 10? Tendrá 5 puntos en la última fila, de modo que simplemente usamos 10 + 5 = 15.

Números triangulares.

Si comparas los números cuadrados con los triangulares, verás que el número 36 aparece en ambas listas. Pero hay una conexión más asombrosa. Si coge números triangulares sucesivos y los suma, ¿qué obtiene? Probémoslo y anotemos los resultados en una tabla.

Suma de dos números triangulares sucesivos
1 + 3	4
3 + 6	9
6 + 10	16
10 + 15	25
15 + 21	36
21 + 28	49
28 + 36	64

¡En efecto! Cuando se suman dos números triangulares sucesivos entre sí, se obtiene un número cuadrado. También se puede entender esto como una prueba sin palabras. Piense en un cuadrado compuesto por 4 filas de 4 puntos a través del cual se ha trazado una línea diagonal. Los puntos que están encima de la línea (tal como se muestra) forman un número triangular y debajo de la línea está el siguiente número triangular. Esta observación es válida para cualquier cuadrado de cualquier tamaño. De estos diagramas de puntos a la medición de áreas sólo hay un paso. El área de un cuadrado cuyo lado es 4, es 4 x 4 = 4² = 16 unidades cuadradas. En general, si el lado se llama x, el área será x².

El cuadrado  es la base de la forma parabólica. Ésta es la forma que se encuentra en las antenas parabólicas o en los espejos reflectores de los faros de los automóviles. Una parábola tiene un punto de foco. En una antena parabólica, un sensor colocado en el punto de foco recibe las señales cuando los rayos paralelos procedentes del espacio impactan en el plato curvo y rebotan hacia el punto de foco.

Parábola formada en un cono.